Question Number 21643 by Joel577 last updated on 30/Sep/17
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{1}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}^{\mathrm{4}} }\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }\:+\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3}^{\mathrm{4}} }\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{2012}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2012}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2012}^{\mathrm{4}} } \\ $$
Commented by Joel577 last updated on 30/Sep/17
$$\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2012}} {\sum}}\:\frac{{n}}{\mathrm{1}\:+\:{n}^{\mathrm{2}} \:+\:{n}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2012}} {\sum}}\:\left(\frac{{n}}{\left({n}^{\mathrm{2}} \:−\:{n}\:+\:\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} \:+\:{n}\:+\:\mathrm{1}\right)}\right) \\ $$$$=\:\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2012}} {\sum}}\:\left(\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{2}} \:−\:{n}\:+\:\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{2}} \:+\:{n}\:+\:\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\:\left(\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)\:+\:\left(\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:−\:\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{7}}\right)\:+\:\left(\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{7}}\:−\:\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{13}}\right)\:+\:…\:+\:\left(\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{2012}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2012}\:+\:\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{2012}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2012}\:+\:\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{2012}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2013}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2012}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2013}}\right) \\ $$