Question Number 125864 by MathSh last updated on 14/Dec/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}^{\mathrm{4}} }+…+\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{1}+\mathrm{50}^{\mathrm{2}} +\mathrm{50}^{\mathrm{4}} }=? \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 14/Dec/20
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}}{{n}^{\mathrm{4}} +{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}}{\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−{n}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\overset{{n}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−…−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}}\right)=\frac{{n}^{\mathrm{2}} +{n}}{\mathrm{2}\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${n}=\mathrm{50}\:\:\:\:\:\:{then}\:{Sum}\:{is}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2551}}\right)=\frac{\mathrm{1275}}{\mathrm{2551}} \\ $$