Question Number 122960 by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Nov/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} }{….}}}}}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by rs4089 last updated on 21/Nov/20
$${start}\:{from}\:\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−…..=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Nov/20
$$\frac{\mathrm{1}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}}{\frac{\pi}{\mathrm{4}}}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+…}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−..}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+…}{\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+..\right)+\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+….\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\mathrm{3}.\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}+..}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+…}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\mathrm{3}^{\mathrm{2}} .\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}+..}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{9}}+..}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\mathrm{3}^{\mathrm{2}} .\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}+..}{\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\right)+\mathrm{5}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+…\right)}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\mathrm{5}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+..}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}+..}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} }{…}}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}}{\frac{\pi}{\mathrm{4}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+..}}}}\Rightarrow\frac{\mathrm{4}}{\pi}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+..}}}\Rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+…}}}} \\ $$