Question Number 186453 by norboyev last updated on 04/Feb/23
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+…+\mathrm{10}}=? \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 04/Feb/23
$${S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}}+\centerdot\centerdot\centerdot+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\centerdot\centerdot\centerdot+\mathrm{10}} \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{10}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{10}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}}{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{10}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2}\left(\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)+\centerdot\centerdot\centerdot+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\right)=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{11}−\mathrm{2}}{\mathrm{22}}\right)=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{11}} \\ $$