Question Number 161907 by bobhans last updated on 24/Dec/21
$$\left(\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{20}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{20}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{9}\pi}{\mathrm{20}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{27}\pi}{\mathrm{20}}\right)=? \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{tan}\:\frac{\pi}{\mathrm{30}}\:\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{30}}\:\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{30}}\:=? \\ $$
Commented by blackmamba last updated on 24/Dec/21
$$\:\frac{\pi}{\mathrm{20}}\:=\:\mathrm{9}°\:;\:{G}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{9}°\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{27}°\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{81}°\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{243}°\right) \\ $$$$\:\left[\:\begin{cases}{\mathrm{cos}\:\mathrm{81}°=\mathrm{sin}\:\mathrm{9}°}\\{\mathrm{cos}\:\mathrm{243}°=−\mathrm{sin}\:\mathrm{27}°\:}\end{cases}\right] \\ $$$$\:{G}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{9}°\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\mathrm{27}°\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{sin}\:\mathrm{9}°\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{sin}\:\mathrm{27}°\right) \\ $$$$\:\mathrm{16}{G}=\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{9}°\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{27}°\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{9}°\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:\mathrm{27}°\right) \\ $$$$\:\mathrm{16}{G}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{9}°+\mathrm{2sin}\:\mathrm{9}°+\mathrm{2sin}\:\mathrm{18}°\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:\mathrm{27}°+\mathrm{2cos}\:\mathrm{27}°−\mathrm{2sin}\:\mathrm{54}°\right) \\ $$$$ \\ $$