Question Number 105250 by bshahid010@gmail.com last updated on 27/Jul/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}×\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}×\mathrm{5}×\mathrm{7}}+………\mathrm{n}−\mathrm{terms} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{sum} \\ $$
Answered by nimnim last updated on 27/Jul/20
$${Let}\:{S}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}×\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}×\mathrm{5}×\mathrm{7}}+….{to}\:{n}\:{terms} \\ $$$${Nr}={n}^{{th}} \:{term}\:{of}\:\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},…..={n} \\ $$$${Dr}={product}\:{of}\:{the}\:{first}\:\left({n}+\mathrm{1}\right)\:{terms}\:{of}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{AP}\:\:\mathrm{1},\mathrm{3},\mathrm{5}….\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right),\:\:{n}\in{N} \\ $$$$\therefore\:{t}_{{n}} =\frac{{n}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}…….\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}….\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}…..\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}…..\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}\right] \\ $$$${then} \\ $$$${t}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}}\right] \\ $$$${t}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}}\right] \\ $$$${t}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}.\mathrm{7}}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:……\:\:\:\:…….\:\:\:\:……. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:……\:\:\:\:…….\:\:\:\:……. \\ $$$${t}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}….\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}….\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}\right] \\ $$$$\therefore{S}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}….\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}\right] \\ $$