Question Number 155465 by cortano last updated on 01/Oct/21
$$\frac{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}×\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}×\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}×\mathrm{7}}+…+\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}= \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 03/Oct/21
$${S}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left(\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\mathrm{4}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\right)=\frac{{n}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\centerdot\centerdot\centerdot+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)=\frac{{n}}{\mathrm{4}}+\frac{{n}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{{n}^{\mathrm{2}} +{n}}{\mathrm{4}{n}+\mathrm{2}} \\ $$