Question Number 177360 by jlewis last updated on 04/Oct/22
$$\mathrm{1}/\mathrm{2}\:{log}_{\mathrm{4}} \mathrm{36}\:×{log}_{\mathrm{6}} \mathrm{64} \\ $$
Answered by TheHoneyCat last updated on 08/Oct/22
$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}_{\mathrm{4}} \left(\mathrm{4}×\mathrm{9}\right)×\mathrm{log}_{\mathrm{6}} \left(\mathrm{6}×\mathrm{9}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{log}_{\mathrm{4}} \mathrm{4}+\mathrm{log}_{\mathrm{4}} \mathrm{9}\right)\left(\mathrm{log}_{\mathrm{6}} \mathrm{6}+\mathrm{log}_{\mathrm{6}} \mathrm{9}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln9}}{\mathrm{ln4}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln9}}{\mathrm{ln6}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{ln3}}{\mathrm{2}\:\mathrm{ln2}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{ln3}}{\mathrm{ln2}+\mathrm{ln3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln3}}{\mathrm{ln2}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{ln3}}{\mathrm{ln2}+\mathrm{ln3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:×\frac{\mathrm{ln2}\:+\:\mathrm{ln3}}{\mathrm{ln2}}×\frac{\mathrm{ln2}\:+\:\mathrm{3}\:\mathrm{ln3}}{\mathrm{ln2}+\mathrm{ln3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln2}\:+\:\mathrm{3}\:\mathrm{ln3}}{\mathrm{2}\:\mathrm{ln2}}\:_{\Box} \\ $$