Question Number 125659 by Mammadli last updated on 12/Dec/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}^{\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2020}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2020}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\boldsymbol{{n}}}{\mathrm{2020}^{\boldsymbol{{n}}} }=? \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 12/Dec/20
$${S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2020}^{\mathrm{2}} }+…+\frac{{n}}{\mathrm{2020}^{{n}} } \\ $$$$\frac{{S}}{\mathrm{2020}}=\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2020}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2020}^{{n}} }+\frac{{n}}{\mathrm{2020}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$${S}−\frac{{S}}{\mathrm{2020}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}^{\mathrm{3}} }+..\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2020}^{{n}} }−\frac{{n}}{\mathrm{2020}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{2019}{S}}{\mathrm{2020}}=\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{2020}\right)^{−{n}} }{\mathrm{2019}}−\frac{{n}}{\mathrm{2020}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{2020}−\left(\mathrm{2020}\right)^{\mathrm{1}−{n}} }{\mathrm{2019}^{\mathrm{2}} }−\frac{{n}}{\mathrm{2019}.\mathrm{2020}^{{n}} } \\ $$