Question Number 103286 by bemath last updated on 14/Jul/20
$$\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}}+\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}}\:=\:? \\ $$
Commented by bemath last updated on 14/Jul/20
$${yes}.\:{thank}\:{both} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 14/Jul/20
$$\sqrt[{\mathrm{3}}]{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by OlafThorendsen last updated on 14/Jul/20
$${x}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}}+\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}} \\ $$$${x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} }\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} \right) \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\left({a}+{b}+{c}\right)^{\mathrm{3}} \:=\:{a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left({a}+{b}\right)\left({b}+{c}\right)\left({c}+{a}\right) \\ $$$${a}\:=\:\mathrm{1},\:{b}\:=\:−\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} ,\:{c}\:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left[\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right)\left(−\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left[\mathrm{3}+\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left[\mathrm{3}−\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}.\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}^{\mathrm{5}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}−\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}^{\mathrm{7}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{5}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}+\mathrm{2}^{\mathrm{5}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}−\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right)\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[−\mathrm{3}+\mathrm{2}^{\mathrm{7}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[−\mathrm{3}+\mathrm{4}.\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[−\mathrm{3}+\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right] \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −\mathrm{1} \\ $$$${x}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by bramlex last updated on 14/Jul/20
$$\mathrm{consider}\::\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}+\mathrm{y}} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\:,\:\mathrm{y}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\:=\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\:\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{3}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}}\:\left[\:\mathrm{recall}\right. \\ $$$$\left.\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}+\mathrm{3xy}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:\right] \\ $$$$=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{3}}{\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }}\:= \\ $$$$\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}+\mathrm{3}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}\:+\mathrm{3}\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}+\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{2}−\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}\right)}}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}\: \\ $$$$ \\ $$