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1-calculate-n-0-x-n-4n-2-1-with-x-lt-1-2-find-the-value-of-n-0-1-4n-2-1-and-n-0-1-n-4n-2-1-

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Question Number 94331 by mathmax by abdo last updated on 18/May/20
1) calculate Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(4n^2 −1)) with ∣x∣<1 2) find the value of Σ_(n=0) ^∞ (1/(4n^2 −1)) and Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(4n^2 −1))
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\:{with}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:{and}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20
1) let f(x) =Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(4n^2 −1)) ⇒f(x) =Σ_(n=0) ^∞ (x^n /((2n−1)(2n+1))) =(1/2)Σ_(n=0) ^∞ ((1/(2n−1))−(1/(2n+1)))x^n =(1/2)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n−1))−(1/2)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n+1)) case (1) 0<x<1 ⇒Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n+1)) =(1/( (√x)))Σ_(n=0) ^∞ ((((√x))^(2n+1) )/(2n+1)) =(1/( (√x)))ϕ((√(x))) with ϕ(t) =Σ_(n=0) ^∞ (t^(2n+1) /(2n+1)) we have ϕ^′ (t) =Σ_(n=0) ^∞ t^(2n) =(1/(1−t^2 )) ⇒ ϕ(t) =∫ (dt/(1−t^2 )) +c =(1/2)∫((1/(1−t))+(1/(1+t)))dt +c =(1/2)ln∣((1+t)/(1−t))∣ +c ϕ(0) =0 =c ⇒ϕ(t) =(1/2)ln∣((1+t)/(1−t))∣ ⇒Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n+1)) =(1/(2(√x)))ln∣((1+(√x))/(1−(√x)))∣ Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n−1)) =−1+ Σ_(n=1) ^∞ (x^n /(2n−1)) =_(n=p+1) Σ_(p=0) ^∞ (x^(p+1) /(2p+1)) =x ×(1/(2(√x)))ln∣((1+(√x))/(1−(√x)))∣ =((√x)/2) ln∣((1+(√x))/(1−(√x)))∣ ⇒ f(x) =−(1/2)+((√x)/4)ln∣((1+(√x))/(1−(√x)))∣−(1/(4(√x)))ln∣((1+(√x))/(1−(√x)))∣ case(2) if −1<x<0 we have f(x) =(1/2)Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n (−x)^n )/(2n−1)) −(1/2) Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n (−x)^n )/(2n+1)) but Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1))(−x)^n =(1/( (√(−x))))Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n ((√(−x)))^(2n+1) )/(2n+1)) =(1/( (√(−x))))w((√(−x))) with w(x) =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1)) t^(2n+1) ⇒ w^′ (x) =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n t^(2n) =(1/(1+t^2 )) ⇒w(x) =arctant +c w(0) =0 =c ⇒w(x) =arctan(t) ⇒Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n+1)) =(1/( (√(−x))))arctan((√(−x))) wf follow the same way to find Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(2n−1)) ....
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{case}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{0}<\mathrm{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}}\varphi\left(\sqrt{\left.\mathrm{x}\right)}\right. \\ $$$$\mathrm{with}\:\varphi\left(\mathrm{t}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\varphi^{'} \left(\mathrm{t}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{t}\right)\:=\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{c}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt}\:+\mathrm{c}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\mid\:+\mathrm{c} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{c}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\mid\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{x}}}\mid \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\:=−\mathrm{1}+\:\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\:=_{\mathrm{n}=\mathrm{p}+\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{p}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{x}\:×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{x}}}\mid\:=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{x}}}\mid\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{x}}}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{x}}}\mid \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{if}\:−\mathrm{1}<\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{but} \\ $$$$ \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{−\mathrm{x}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\sqrt{−\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{−\mathrm{x}}}\mathrm{w}\left(\sqrt{−\mathrm{x}}\right)\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{w}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{arctant}\:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{−\mathrm{x}}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{−\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\mathrm{wf}\:\mathrm{follow}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{way}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\:…. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20
2) let S_n =Σ_(k=0) ^n (1/(4k^2 −1)) ⇒S_n =−1 +Σ_(k=1) ^n (1/((2k−1)(2k+1))) =−1+(1/2)Σ_(k=1) ^n ((1/(2k−1))−(1/(2k+1))) =−1+(1/2)Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))−(1/2)Σ_(k=1) ^n (1/(2k+1)) Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1)) =1+(1/3)+.....+(1/(2n−1)) =1+(1/2)+(1/3)+....+(1/(2n−1))+(1/(2n)) −(1/2)−(1/4)−...−(1/(2n)) =H_(2n) −(1/2)H_n Σ_(k=1) ^n (1/(2k+1)) =_(k=p−1) Σ_(p=2) ^(n+1) (1/(2p−1)) =H_(2n+2) −(1/2)H_(n+1) −1 ⇒ S_n =−1+(1/2)H_(2n) −(1/4)H_n −(1/2)H_(2n+2) +(1/4)H_(n+1) +(1/2) =−(1/2) +(1/2)(H_(2n) −H_(2n+2) )+(1/4)(H_(n+1) −H_n ) but lim_(n⌣+∞) H_(2n) −H_(2n+2) =0 =lim_(n→∞) H_(n+1) −H_n ⇒ lim_(n→+∞) S_n =−(1/2)
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\mathrm{1}\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\right)\:=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…..+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−…−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\:=\mathrm{H}_{\mathrm{2n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\:=_{\mathrm{k}=\mathrm{p}−\mathrm{1}} \:\:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2p}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{H}_{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{2n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{2n}} −\mathrm{H}_{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \right)\:\:\mathrm{but}\: \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\smile+\infty} \mathrm{H}_{\mathrm{2n}} −\mathrm{H}_{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow\infty} \mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

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