Question Number 130029 by mathmax by abdo last updated on 22/Jan/21
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{find}\:\int_{\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 22/Jan/21
$$\mathrm{Ostrogradski}\:\mathrm{gives} \\ $$$${F}\:\left({x}\right)\:=−\frac{{x}\left(\mathrm{17}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{331}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1252}\right)}{\mathrm{16000}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16000}}\int\frac{\mathrm{17}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{687}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{dx}= \\ $$$$=−\frac{{x}\left(\mathrm{17}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{331}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1252}\right)}{\mathrm{16000}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{619}}{\mathrm{320000}}\int\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}{dx}−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{1250}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}= \\ $$$$=−\frac{{x}\left(\mathrm{17}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{331}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1252}\right)}{\mathrm{16000}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{619}}{\mathrm{320000}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{{x}−\mathrm{2}}{{x}+\mathrm{2}}\mid\:−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{1250}}\mathrm{arctan}\:{x}\:+{C} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\frac{\mathrm{619}}{\mathrm{320000}}\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\:−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{1250}}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:−\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{80000}} \\ $$
Commented by liberty last updated on 22/Jan/21
$$\mathrm{your}\:\mathrm{favorite}\:\mathrm{method}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{hahaha} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 22/Jan/21
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\:\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\:\mathrm{b}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\alpha}{\mathrm{x}−\mathrm{a}}+\frac{\beta}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}+\frac{\lambda\mathrm{x}+\mu}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\alpha\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)+\beta\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\lambda\mathrm{x}+\mu\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\alpha=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\:,\:\beta=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{2a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\alpha\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} −\beta\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} −\mu\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow\mu\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\left(\frac{\cancel{\mathrm{a}b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\cancel{\mathrm{a}}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\right)+\left(\frac{\cancel{\mathrm{a}b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\cancel{\mathrm{a}}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mu=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\:,\:\alpha+\beta+\lambda=\mathrm{0}\:\Rightarrow\lambda=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{a}\mid−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{a}\mid}{\mathrm{2a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}−\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{b}/\mathrm{x}\right)}{\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}+\mathcal{C} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\int\left\{\frac{\partial^{\mathrm{3}} \mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)}{\partial\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\centerdot\frac{\partial^{\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)}{\partial\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\right\}\mathrm{dx} \\ $$