Question Number 104891 by mathmax by abdo last updated on 24/Jul/20
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{the}\:\mathrm{fraction}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jul/20
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{3}+\mathrm{1}\right)}\right)^{\mathrm{3}} \:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{6}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 26/Jul/20
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{S}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\mathrm{S}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\mathrm{6}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}−\mathrm{3}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{6}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$−\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:\mathrm{but}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}\:} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:\rightarrow−\mathrm{ln2}\left(\mathrm{n}\rightarrow+\infty\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:\rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:=\delta\left(\mathrm{2}\right)\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:\rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:=\delta\left(\mathrm{3}\right)\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}−\mathrm{1}\:=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}\:} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}−\mathrm{1} \\ $$$$\rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{1}\:\rightarrow−\delta\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\:\rightarrow−\delta\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}\:=−\mathrm{6ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{6}\left(\mathrm{ln2}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{1}\right)+\xi\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=−\mathrm{12ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{6}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\:+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{S}=−\mathrm{12ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{10}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$