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1-determiner-tan-x-2-en-fonction-de-tan-x-2-on-donne-tan-x-1-8-tan-x-2-3-la-valeur-proche-de-x-

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Question Number 192924 by a.lgnaoui last updated on 31/May/23
1•determiner: tan (x/2) en fonction de tan x 2•on donne tan x=(1/8) tan (x/2)=? 3• la valeur proche de x?
$$\mathrm{1}\bullet\mathrm{determiner}:\:\mathrm{tan}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{en}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{de}\:\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{2}\bullet\mathrm{on}\:\mathrm{donne}\:\:\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\:\:\:\mathrm{tan}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}=? \\ $$$$\mathrm{3}\bullet\:\:\mathrm{la}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{proche}\:\mathrm{de}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}? \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 31/May/23
1•tan x=((2t)/(1−t^2 )) t=tan( (x/2)) y=tan x ⇒ y(1−t^2 )=2t y+yt^2 =2t t^2 −((2t)/y)+1=0⇒ (t−(1/y))^2 +1−(1/y^2 )=0 (ty−1)^2 =1−y^2 t=(1/y)−((√(1−y^2 ))/y) { ((y≠0 x≠(π/4)+kπ)),((y ≤1)) :} ⇒tan (x/2)=(1/(tan x))−((√(1−tan^2 x))/(tan x)) 2•tan x=(1/8) tan (x/2) = 8 −(√(63)) 3• tan (x/2)=0,062746 ⇒(x/2)=3,6° x=7,2^°
$$\mathrm{1}\bullet\mathrm{tan}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\mathrm{t}=\mathrm{tan}\left(\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{y}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{2t} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{y}+\mathrm{yt}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2t}\:\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{y}}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\:\:\:\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{ty}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{y}}}−\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}} }}{\boldsymbol{\mathrm{y}}}\:\:\:\:\:\begin{cases}{\mathrm{y}\neq\mathrm{0}\:\:\:\mathrm{x}\neq\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{k}\pi}\\{\mathrm{y}\:\:\:\leqslant\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}}−\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}}}{\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}} \\ $$$$\mathrm{2}\bullet\mathrm{tan}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:\:\:=\:\:\mathrm{8}\:\:−\sqrt{\mathrm{63}} \\ $$$$\:\mathrm{3}\bullet\:\mathrm{tan}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0},\mathrm{062746}\:\:\:\:\Rightarrow\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{3},\mathrm{6}° \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\mathrm{7},\mathrm{2}^{°} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by MM42 last updated on 31/May/23
tanx=((2tanx)/(1−tan^2 (x/2))) (1/8)=((2tan(x/2))/(1−tan^2 (x/2)))⇒tan^2 (x/2)+16tan(x/2)−1=0 tan(x/2)=−8±(√(65))
$${tanx}=\frac{\mathrm{2}{tanx}}{\mathrm{1}−{tan}^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{2}{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−{tan}^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}\Rightarrow{tan}^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{16}{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{8}\pm\sqrt{\mathrm{65}} \\ $$

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