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Question Number 97230 by mathmax by abdo last updated on 07/Jun/20
1) developp at fourier serie f(x)=ln(sinx) 2) developp at fourier serie g(x)=ln(cosx +sinx) 3)developp at fourier seri e h(x) =ln(cosx +2sinx)
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{developp}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{sinx}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{developp}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{sinx}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\mathrm{developp}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{seri}\:\mathrm{e}\:\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{2sinx}\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jun/20
1)we have f^′ (x) =((cosx)/(sinx)) =((e^(ix) +e^(−ix) )/((e^(ix) −e^(−ix) )/i)) =i ((e^(ix) +e^(−ix) )/(e^x −e^(−ix) )) changement e^(ix) =z give f^′ (x) =i((z+z^(−1) )/(z−z^(−1) )) =i ((z^2 +1)/(z^2 −1)) =−i ((z^2 +1)/(1−z^2 )) =−i(z^2 +1)Σ_(n=0) ^∞ z^(2n) =−iΣ_(n=0) ^∞ (z^(2n+2) +z^(2n) ) =−i Σ_(n=0) ^∞ e^(i(2n+2)x) −i Σ_(n=0) ^∞ e^(i2nx) =−i{ Σ_(n=0) ^∞ (cos(2n+2)x +isin(2n+2)x) +Σ_(n=0) ^∞ ( cos(2nx)+isin(2nx))} =−i(Σ_(n=0) ^∞ cos(2n+2)x+Σ_(n=0) ^∞ cos(2nx)) +Σ_(n=0) ^∞ sin(2n+2)x +Σ_(n=0) ^∞ sin(2nx) but f^′ (x) is real ⇒f^′ (x) =Σ_(n=0) ^∞ sin(2n+2)x +Σ_(n=0) ^∞ sin(2nx) =Σ_(n=1) ^∞ sin(2nx) +Σ_(n=1) ^∞ sin(2nx) =2 Σ_(n=1) ^∞ sin(2nx) ⇒ f(x) =2Σ_(n=1) ^∞ (−(1/(2n)))cos(2nx) +C =−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx))/n) +C f((π/2)) =0 =−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(nπ))/n) +C =−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) +C =ln2 +C ⇒ C =−ln2 ⇒f(x) =−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx))/n) −ln(2)
$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{i}}}\:=\mathrm{i}\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:=\mathrm{z}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{i}\frac{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }\:=\mathrm{i}\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=−\mathrm{i}\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\:=−\mathrm{i}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{z}^{\mathrm{2n}} \\ $$$$=−\mathrm{i}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{2n}} \right)\:=−\mathrm{i}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} \:−\mathrm{i}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i2nx}} \\ $$$$=−\mathrm{i}\left\{\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}\right)\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2nx}\right)\right)\right\} \\ $$$$=−\mathrm{i}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)\right)\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right) \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{real}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right)\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right)\:=\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)\:+\mathrm{C}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)\:=\mathrm{0}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}\pi\right)}{\mathrm{n}}\:+\mathrm{C}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:+\mathrm{C}\:=\mathrm{ln2}\:+\mathrm{C}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{C}\:=−\mathrm{ln2}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 07/Jun/20
2) g(x) =ln(cosx +sinx) ⇒g(x) =ln((√2)sin(x+(π/4))) =(1/2)ln(2) +ln(x+(π/4)) =(1/2)ln(2)−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2n(x+(π/4))))/n)−ln(2) =−((ln(2))/2) −Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx +n(π/2)))/n)
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{sinx}\right)\:\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\right)}{\mathrm{n}}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\:+\mathrm{n}\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{n}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 07/Jun/20
3)h(x) =ln(cosx +2sinx) we have cosx +2sinx =(√5)((1/( (√5)))cosx +(2/( (√5)))sinx) let sinα =(1/( (√5))) and cosα =(2/( (√5))) ⇒tanα =(1/2) ⇒α =arctan((1/2)) ⇒ cosx +2sinx =(√5)sin(x+α) ⇒h(x) =(1/2)ln5 +ln(sin(x+α)) =((ln5)/2)−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2n(x+α)))/n) −ln(2) =((ln5)/2)−ln(2) −Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx+2n arctan((1/2))))/n)
$$\left.\mathrm{3}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{2sinx}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{cosx}\:+\mathrm{2sinx}\:=\sqrt{\mathrm{5}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{cosx}\:+\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{sinx}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{sin}\alpha\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{cos}\alpha\:=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\:\Rightarrow\mathrm{tan}\alpha\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\alpha\:=\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cosx}\:+\mathrm{2sinx}\:=\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}+\alpha\right)\:\Rightarrow\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln5}\:+\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}+\alpha\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln5}}{\mathrm{2}}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}\left(\mathrm{x}+\alpha\right)\right)}{\mathrm{n}}\:−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln5}}{\mathrm{2}}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}+\mathrm{2n}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right)}{\mathrm{n}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jun/20
another method for f(x) =ln(sinx) we have f(x) =ln(((e^(ix) −e^(−ix) )/(2i))) =ln(e^(ix) −e^(−ix) )−ln(2i) =ln(e^(ix) )+ln(1−e^(−2ix) )−ln(2i) =ix −ln2−lni +ln(1−e^(−2ix) ) =ix−ln(2)−((iπ)/2) −Σ_(n=1) ^∞ (e^(−2inx) /n) =i(x−(π/2))−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx))/n) +i Σ_(n=1) ^∞ ((sin(2nx))/n) −ln(2) f(x)∈R ⇒f(x) =−Σ_(n=1) ^∞ ((cos(2nx))/n)−ln(2) also we get Σ_(n=1) ^∞ ((sin(2nx))/n) =(π/2)−x
$$\mathrm{another}\:\mathrm{method}\:\mathrm{for}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{sinx}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2i}\right) \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2i}\right)\:=\mathrm{ix}\:−\mathrm{ln2}−\mathrm{lni}\:+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$=\mathrm{ix}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2inx}} }{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{i}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:+\mathrm{i}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\in\mathrm{R}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{also}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right)}{\mathrm{n}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{x} \\ $$

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