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Question Number 179383 by Acem last updated on 29/Oct/22
1• Evaluate I=∫ ((√(25x^2 −4))/x) dx 2• Find value of ∫_(2/5) ^( (4/5)) f(x) dx 3• Find value of ∫_(− (4/5)) ^( − (2/5)) f(x) dx
$$\mathrm{1}\bullet\:{Evaluate}\:{I}=\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{25}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}}{{x}}\:{dx} \\ $$$$\:\mathrm{2}\bullet\:{Find}\:{value}\:{of}\:\int_{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}} ^{\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}} {f}\left({x}\right)\:{dx} \\ $$$$\:\mathrm{3}\bullet\:{Find}\:{value}\:{of}\:\int_{−\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}} ^{\:−\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}} {f}\left({x}\right)\:{dx} \\ $$$$ \\ $$
Answered by cortano1 last updated on 29/Oct/22
Y = ∫ ((√((5x)^2 −2^2 ))/x) dx let 5x=2sec t ⇒dx=(2/5)sec t tan t dt sec t =((5x)/2) or cos t=(2/(5x)) Y= ∫ ((√(4sec^2 t−4))/(((2/5)sec t))) .((2/5)sec t tan t dt) Y=∫ 2tan^2 t dt Y=2 ∫ (sec^2 t−1)dt Y= 2tan t−2t+c Y=2 ((√(25x^2 −4))/2)−2arccos ((2/(5x)))+c Y=(√(25x^2 −4))−2arccos ((2/(5x)))+c or Y=(√(25x^2 −4)) −2arcsec (((5x)/2))+c
$$\:\mathrm{Y}\:=\:\int\:\frac{\sqrt{\left(\mathrm{5x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{let}\:\mathrm{5x}=\mathrm{2sec}\:\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:=\frac{\mathrm{5x}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{or}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{t}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5x}} \\ $$$$\:\:\mathrm{Y}=\:\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{4sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}−\mathrm{4}}}{\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\right)}\:.\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\:\mathrm{dt}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{Y}=\int\:\mathrm{2tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{Y}=\mathrm{2}\:\int\:\left(\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{Y}=\:\mathrm{2tan}\:\mathrm{t}−\mathrm{2t}+\mathrm{c} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{Y}=\mathrm{2}\:\frac{\sqrt{\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2arccos}\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5x}}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{Y}=\sqrt{\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}−\mathrm{2arccos}\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5x}}\right)+\mathrm{c}\: \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{Y}=\sqrt{\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}\:−\mathrm{2arcsec}\:\left(\frac{\mathrm{5x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{c}\: \\ $$
Commented by Acem last updated on 29/Oct/22
Excellent!
$${Excellent}! \\ $$
Answered by Acem last updated on 29/Oct/22
2• ∫_(2/5) ^(4/5) ((√(25x^2 −4))/x) dx ... (1) (√(25x^2 −4)) = 2 (√((((5x)/2))^2 −1)) sec θ= ((5x)/2) ⇔ x= (2/5) sec θ ⇒ dx= (2/5) sec θ tan θ dθ (dx/x)= tan θ ...(2) 2 (√((((5x)/2))^2 −1))= 2 (√(sec^2 θ−1)) = 2 ∣tan θ∣^(Be awake!) ...(3) x= (2/5) ⇒ sec θ= 1 ⇒ θ_1 = 0 x= (4/5) ⇒ sec θ= 2 ⇒ θ_2 = (π/3) as 0< θ< (π/3) ⇒ ∣tan θ∣= tan θ by compensate 2, 3 in 1: a= 2∫_0 ^(π/3) (sec^2 θ−1) dθ= 2 (tan θ−θ)∣_( 0) ^(π/3) a= 2 ((√3) − (π/3)) 3• Next
$$\mathrm{2}\bullet\:\int_{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}} ^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{25}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}}{{x}}\:{dx}\:…\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{25}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}\:=\:\mathrm{2}\:\sqrt{\left(\frac{\mathrm{5}{x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{sec}\:\theta=\:\frac{\mathrm{5}{x}}{\mathrm{2}}\:\Leftrightarrow\:{x}=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{sec}\:\theta\:\Rightarrow\:{dx}=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{sec}\:\theta\:\mathrm{tan}\:\theta\:{d}\theta \\ $$$$\:\frac{{dx}}{{x}}=\:\mathrm{tan}\:\theta\:…\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\mathrm{2}\:\sqrt{\left(\frac{\mathrm{5}{x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\:\mathrm{2}\:\sqrt{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \:\theta−\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{2}\:\mid\mathrm{tan}\:\theta\mid^{{Be}\:{awake}!} \:…\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:{x}=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:\Rightarrow\:\mathrm{sec}\:\theta=\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\theta_{\mathrm{1}} =\:\mathrm{0} \\ $$$$\:{x}=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\:\Rightarrow\:\mathrm{sec}\:\theta=\:\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\theta_{\mathrm{2}} =\:\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:{as}\:\mathrm{0}<\:\theta<\:\frac{\pi}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\mid\mathrm{tan}\:\theta\mid=\:\mathrm{tan}\:\theta \\ $$$$\:{by}\:{compensate}\:\mathrm{2},\:\mathrm{3}\:{in}\:\mathrm{1}: \\ $$$$\:{a}=\:\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \:\left(\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \:\theta−\mathrm{1}\right)\:{d}\theta=\:\mathrm{2}\:\left(\mathrm{tan}\:\theta−\theta\right)\mid_{\:\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:{a}=\:\mathrm{2}\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}\bullet\:{Next} \\ $$
Answered by Acem last updated on 29/Oct/22
3• ∫_((−4)/5) ^((−2)/5) ((√(25x^2 −4))/x) dx ... (1) sec θ= ((5x)/2) ⇔ x= (2/5) sec θ ⇒ dx= (2/5) sec θ tan θ dθ (dx/x)= tan θ ...(2) 2 (√((((5x)/2))^2 −1))= 2 (√(sec^2 θ−1)) = 2 ∣tan θ∣^(Be awake!) ...(3) x= ((−4)/5) ⇒ sec θ= −2 ⇒ θ_1 = ((2 π)/3) x= ((−2)/5) ⇒ sec θ= −1 ⇒ θ_2 = π as ((2 π)/3)< θ< π ⇒ ∣tan θ∣= −tan θ by compensate 2, 3 in 1: a= −2∫_((2 π)/3) ^( π) (sec^2 θ−1) dθ= −2 (tan θ−θ)∣_( ((2 π)/3)) ^( π) a= 2 ((π/3) − (√3))
$$ \\ $$$$\mathrm{3}\bullet\:\int_{\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{5}}} ^{\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{5}}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{25}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}}{{x}}\:{dx}\:…\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\mathrm{sec}\:\theta=\:\frac{\mathrm{5}{x}}{\mathrm{2}}\:\Leftrightarrow\:{x}=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{sec}\:\theta\:\Rightarrow\:{dx}=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{sec}\:\theta\:\mathrm{tan}\:\theta\:{d}\theta \\ $$$$\:\frac{{dx}}{{x}}=\:\mathrm{tan}\:\theta\:…\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\mathrm{2}\:\sqrt{\left(\frac{\mathrm{5}{x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\:\mathrm{2}\:\sqrt{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \:\theta−\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{2}\:\mid\mathrm{tan}\:\theta\mid^{{Be}\:{awake}!} \:…\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:{x}=\:\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\:\Rightarrow\:\mathrm{sec}\:\theta=\:−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\theta_{\mathrm{1}} =\:\frac{\mathrm{2}\:\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:{x}=\:\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:\Rightarrow\:\mathrm{sec}\:\theta=\:−\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\theta_{\mathrm{2}} =\:\pi \\ $$$$\:{as}\:\frac{\mathrm{2}\:\pi}{\mathrm{3}}<\:\theta<\:\pi\:\Rightarrow\:\mid\mathrm{tan}\:\theta\mid=\:−\mathrm{tan}\:\theta \\ $$$$\:{by}\:{compensate}\:\mathrm{2},\:\mathrm{3}\:{in}\:\mathrm{1}: \\ $$$$\:{a}=\:−\mathrm{2}\int_{\frac{\mathrm{2}\:\pi}{\mathrm{3}}} ^{\:\pi} \:\left(\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \:\theta−\mathrm{1}\right)\:{d}\theta=\:−\mathrm{2}\:\left(\mathrm{tan}\:\theta−\theta\right)\mid_{\:\frac{\mathrm{2}\:\pi}{\mathrm{3}}} ^{\:\:\pi} \\ $$$$\:{a}=\:\mathrm{2}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\:−\:\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\: \\ $$

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