Question Number 62811 by mathmax by abdo last updated on 25/Jun/19
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{find}\:\:\int\:\:\:\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}\right)}{dx} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right){calculate}\:\int_{\mathrm{5}} ^{+\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}\right)}{dx} \\ $$
Commented by Prithwish sen last updated on 25/Jun/19
$$\left.\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\:\:=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{Cx}+\mathrm{D}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{calculating}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\int\left[\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}\:−\frac{\mathrm{15}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{32}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\:\right]\:\mathrm{dx} \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\:−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{32}}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{7}}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{waiting}\:\mathrm{for}\:\mathrm{feedbacks} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 26/Jun/19
$$\left.\mathrm{1}\right){let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{b}}{{x}−\mathrm{3}}\:+\frac{{cx}+{d}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}} \\ $$$${a}={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right){F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{4}\right)}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$$${b}={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{3}\right){F}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{8}\right)}\:=\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}\left({x}−\mathrm{3}\right)}\:+\frac{{cx}+{d}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} {xF}\left({x}\right)=\mathrm{0}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}}\:+{c}\:=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{32}}\:+{c}\:\Rightarrow{c}\:=−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{32}}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}\left({x}−\mathrm{3}\right)}\:+\frac{−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{32}}{x}+{d}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}} \\ $$$${F}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{−\mathrm{6}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\:−\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{3}.\mathrm{32}}\:+\frac{{d}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:−\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{48}}\:+{d}\:\Rightarrow{d}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{48}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{24}}\:+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{48}}\:=\frac{\mathrm{22}+\mathrm{17}}{\mathrm{48}}\:=\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{48}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}\right)}{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}}\int\:\frac{{dx}}{{x}−\mathrm{3}}\:−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{32}}\int\:\:\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}}{dx}\:+\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{48}}\:\int\:\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}}\:+{c} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}{ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}}{ln}\mid{x}−\mathrm{3}\mid−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{64}}\:\int\:\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}}{dx}\:+\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{48}}\:\int\:\:\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}}\:+{c} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}{ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}}{ln}\mid{x}−\mathrm{3}\mid−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{64}}{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}\right)+\left(\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{48}}−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{64}}\right)\int\:\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}}{dx}\:+{c}\:{but} \\ $$$$\int\:\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}}\:=\int\:\:\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\:=\int\:\:\frac{{dx}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}}\:=_{{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}{u}} \frac{\mathrm{4}}{\mathrm{7}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:{F}\left({x}\right){dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}{ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{32}}{ln}\mid{x}−\mathrm{3}\mid−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{64}}{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}\right)+\left(\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{48}}−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{64}}\right)\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}\right)\:+{c} \\ $$$$ \\ $$