Question Number 104100 by bramlex last updated on 19/Jul/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\mathbb{F}{ind}\:{all}\:{natural}\:{pairs}\:{of} \\ $$$${integers}\:\left({x},{y}\right)\:{such}\:{that}\:{x}^{\mathrm{3}} −{y}^{\mathrm{3}} ={xy}+\mathrm{61}. \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\mathbb{F}{ind}\:{gcd}\left({x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{3}} ,\:{x}^{\mathrm{3}} −{x}\right)\: \\ $$
Answered by bemath last updated on 19/Jul/20
$$\left(\mathrm{2}\right){x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{3}} \:=\:{x}^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{1}\right)={x}^{\mathrm{2}} .{x}\left({x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{3}} −{x}\:=\:{x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)={x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${so}\:{gcd}\left({x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{3}} ,\:{x}^{\mathrm{3}} −{x}\right)= \\ $$$${x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\:{or}\:{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:\bigstar \\ $$
Answered by john santu last updated on 19/Jul/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\:{x}^{\mathrm{3}} −{y}^{\mathrm{3}} \:=\:\left({x}−{y}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{xy}+{y}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left({x}−{y}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{xy}+{y}^{\mathrm{2}} \right)=\:{xy}+\mathrm{61} \\ $$$${notice}\:{that}\:{x}>{y}\:.\:{therefore}\:{we} \\ $$$${have}\:{to}\:{consider}\:{x}^{\mathrm{2}} +{xy}+{y}^{\mathrm{2}} \leqslant \\ $$$${xy}+\mathrm{61}\:{or}\:{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} \:\leqslant\:\mathrm{61}. \\ $$$${because}\:{x}>{y}\:,\:{we}\:{have}\: \\ $$$$\mathrm{61}\:\geqslant\:{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} \:\geqslant\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:{y}\:\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5}\right\} \\ $$$$\begin{cases}{{y}=\mathrm{1};\:{x}^{\mathrm{3}} −{x}−\mathrm{62}=\mathrm{0}}\\{{y}=\mathrm{2};\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{69}=\mathrm{0}}\\{{y}=\mathrm{3};\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{89}=\mathrm{0}}\\{{y}=\mathrm{4};\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}−\mathrm{125}=\mathrm{0}}\\{{y}=\mathrm{5};\:{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5}{x}−\mathrm{186}=\mathrm{0};\:{x}=\mathrm{6}}\end{cases} \\ $$$${we}\:{see}\:{the}\:{only}\:{working}\:{value} \\ $$$${for}\:{x}\:{is}\:{when}\:{x}=\mathrm{6}\:,{y}=\mathrm{5}\:;\:{so}\:{the} \\ $$$${only}\:{natural}\:{pairs}\:{of}\:{solution} \\ $$$${is}\:\left({x},{y}\right)\:=\:\left(\mathrm{6},\mathrm{5}\right)\:\left({JS}\:\circledast\right)\: \\ $$
Commented by bramlex last updated on 19/Jul/20
$${thank}\:{you} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 19/Jul/20
$$\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} ,\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}\right)=\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right).\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\bigstar \\ $$$$\mathrm{d}=\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{d}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \wedge\mathrm{d}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}\mid\left(−\mathrm{1}\right).\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x},\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} ,\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}\right)= \\ $$$$\bigstar\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$