Question Number 147576 by qaz last updated on 22/Jul/21
$$\left(\mathrm{1}\right)::\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\underset{\mathrm{j}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mid\mathrm{i}−\mathrm{j}\mid=? \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)::\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\underset{\mathrm{j}=\mathrm{i}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{j}}=? \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)::\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{\mathrm{i}}\right]=? \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 22/Jul/21
$$\left.{i}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mid{i}−{j}\mid=\:\:\:\:\mathrm{0}+\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+…+\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\left({n}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{2}+\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{1}+…+\left({n}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+…… \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left({n}−\mathrm{2}\right)+\left({n}−\mathrm{3}\right)+…+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left({n}−\mathrm{2}\right)+…+\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={n}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}\right)+…\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}{j}\left({n}−{j}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{{n}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}−\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}^{\mathrm{2}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{{n}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{\frac{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mid{i}−{j}\mid=\frac{{n}\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{ii}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}={i}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{j}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+…….. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+…+\mathrm{1} \\ $$$$\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}={i}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{j}}={n} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{iii}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{{i}}\right]=\underset{{i}=\mathrm{1}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{1}+\underset{{i}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}+\underset{{i}=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{3}+…+\underset{{i}=\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left[\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{7}\left(\mathrm{3}\right)+…+\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}\left(\mathrm{2}{j}+\mathrm{1}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\mathrm{2}{j}^{\mathrm{2}} +{j}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}^{\mathrm{2}} +\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}+\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={n}\left\{\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{6}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{n}+\mathrm{2}+\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}+\mathrm{6}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{5}\right\} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{{i}}\right]=\frac{{n}\left(\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{5}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$
Commented by qaz last updated on 22/Jul/21
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{a}\:\mathrm{lot}\:\mathrm{sir} \\ $$