Question Number 112863 by bemath last updated on 10/Sep/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4x}−\mathrm{2}} \\ $$
Commented by bobhans last updated on 22/Sep/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}} =\:{e}^{\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\:−\mathrm{1}\right).\:\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\:{e}^{\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\right)} \:=\:{e}^{\mathrm{8}} \\ $$
Answered by bobhans last updated on 10/Sep/20
$$\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{1}+\mathrm{2}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4x}−\mathrm{2}} \:=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4x}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}},\:\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{3x}−\mathrm{1}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{u}}\: \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{2}+\mathrm{u}}{\mathrm{3u}}\:.\:\mathrm{then}\:\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{\frac{\mathrm{4u}+\mathrm{8}}{\mathrm{3u}}−\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left[\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}} \right]^{\frac{\mathrm{8}−\mathrm{2u}}{\mathrm{3}}} =\:\mathrm{e}^{\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{8}−\mathrm{2u}}{\mathrm{3}}\right)} \:=\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}} \\ $$
Answered by bobhans last updated on 10/Sep/20
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}+\mathrm{4}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4x}+\mathrm{2}} =\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{q}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\rightarrow\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{4}+\mathrm{q}}{\mathrm{2q}} \\ $$$$\underset{\mathrm{q}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left[\left(\mathrm{1}+\mathrm{q}\right)^{\frac{\mathrm{8}+\mathrm{2q}}{\mathrm{q}}+\mathrm{2}} \right]=\:\underset{\mathrm{q}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left[\left(\mathrm{1}+\mathrm{q}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{q}}} \right]^{\mathrm{4q}+\mathrm{8}} \\ $$$$=\:\mathrm{e}^{\underset{\mathrm{q}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{4q}+\mathrm{8}\right)} =\:\mathrm{e}^{\mathrm{8}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Sep/20
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4x}+\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{\left(\mathrm{4x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:+\mathrm{4}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)\sim\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{4x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)\:\sim\mathrm{4}.\frac{\mathrm{4x}+\mathrm{2}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\:\sim\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\sim\mathrm{e}^{\mathrm{8}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{\mathrm{8}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Sep/20
$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{let}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4x}−\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{\left(\mathrm{4x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{1}+\mathrm{2}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)\sim\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{4x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\right)\:\sim\mathrm{2}×\frac{\mathrm{4x}−\mathrm{2}}{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\:\sim\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\infty} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}} \\ $$