Question Number 78785 by jagoll last updated on 20/Jan/20
$$ \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{3}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}} =\:\left(\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)^{\mathrm{10}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{solution} \\ $$
Answered by john santu last updated on 20/Jan/20
$${consider}\:\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{7}}=\left(\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)^{\mathrm{6}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}} =\:\left(\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)^{\mathrm{10}\:\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{6}\:−\:\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{10}\:\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)+\mathrm{6}−\mathrm{10sin}\:{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{10sin}\:{x}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{5sin}\:{x}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2sin}\:{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\begin{cases}{{x}=\frac{\pi}{\mathrm{6}}+\mathrm{2}{n}\pi}\\{{x}=\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{6}}+\mathrm{2}{n}\pi}\end{cases} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 20/Jan/20
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$$$ \\ $$