Question Number 108384 by bobhans last updated on 16/Aug/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{sin}\:{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{sin}\:{x}}\:+\:\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}}}\:{dx}\:? \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{2}\frac{{dy}}{{dx}}\:+{y}\:=\:{e}^{{x}} \\ $$
Answered by bemath last updated on 16/Aug/20
Commented by bobhans last updated on 16/Aug/20
$${yes}….. \\ $$
Answered by Sarah85 last updated on 16/Aug/20
$$\int\frac{\sqrt{\mathrm{sin}\:{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{sin}\:{x}}+\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}}}{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:{t}=\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}\:\Leftrightarrow\:{x}=\mathrm{arctan}\:{t}^{\mathrm{2}} \:\Leftrightarrow\:{dx}=\frac{\mathrm{2}{t}}{{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} }{\left({t}+\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}{dt}= \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}{dt}−\int\frac{{t}^{\mathrm{3}} −{t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}{dt}−\int\frac{\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left({t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}\right)}{dt}−\int\frac{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left({t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}\right)}{dt} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{I}\:\mathrm{use}\:\mathrm{the}\:\mathrm{obvious}\:\mathrm{formulas}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mid{t}+\mathrm{1}\mid\:−\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left({t}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}{t}−\mathrm{1}\right)\:−\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left({t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}\right)\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{insert}\:{t}=\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Aug/20
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{y}^{''} −\mathrm{2y}^{'} \:+\mathrm{y}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \: \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2r}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=\mathrm{1}\left(\mathrm{double}\right)\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{axe}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:=−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} }{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$