Question Number 152326 by mathdanisur last updated on 27/Aug/21
$$\int\sqrt{\frac{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{sin}\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{cos}\boldsymbol{\mathrm{x}}}}\:\mathrm{dx}\:=\:? \\ $$
Commented by puissant last updated on 27/Aug/21
$$=\int\sqrt{{secx}+{tanx}}{dx} \\ $$$${Q}\mathrm{151568}\: \\ $$
Answered by peter frank last updated on 27/Aug/21
$$\int\frac{\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}}\mathrm{dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}}\mathrm{dx}+\int\frac{\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}}\mathrm{dx} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 27/Aug/21
$$=\int\frac{\mathrm{sin}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}}{dx}+\int\frac{\mathrm{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}}{dx} \\ $$$$\begin{cases}{{u}=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}\\{{v}=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{{du}=−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\frac{{x}}{\mathrm{2}}{dx}}\\{{dv}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}}{dx}}\end{cases} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\int\frac{{dv}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{v}^{\mathrm{2}} }}−\sqrt{\mathrm{2}}\int\frac{{du}}{\:\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{arcsin}\left({v}\right)−\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{argcosh}\left({u}\right)+{C} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{arcsin}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)−\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}\mid+{C} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 27/Aug/21
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{You}\:\mathrm{Ser} \\ $$