Question Number 87723 by Ar Brandon last updated on 05/Apr/20
$$\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2018}} {\sum}}\left({k}+\mathrm{1}\right){x}^{{k}} }{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2019}} {\sum}}{x}^{{k}} }\right){dx} \\ $$
Answered by mahdi last updated on 05/Apr/20
$$\:\mathrm{A}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2018}} {\sum}}\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{i}} =\mathrm{1x}^{\mathrm{0}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{1}} +…+\mathrm{2019}^{\mathrm{2018}} = \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +…+\mathrm{x}^{\mathrm{2019}} \right)'=\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2020}} −\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)' \\ $$$$\mathrm{B}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2019}} {\sum}}\mathrm{x}^{\mathrm{k}} =\mathrm{x}^{\mathrm{0}} +\mathrm{x}^{\mathrm{1}} +…+\mathrm{x}^{\mathrm{2019}} =\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2020}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{\frac{\left(\mathrm{2020x}^{\mathrm{2019}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2020}} −\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2020}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{2019x}^{\mathrm{2020}} −\mathrm{2020x}^{\mathrm{2019}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}\right)\mathrm{dx}=\int\frac{\mathrm{2020x}^{\mathrm{2019}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2020}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2020}} −\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 06/Apr/20
$${nice} \\ $$