Question Number 125194 by bemath last updated on 09/Dec/20
$$\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}\:{dx}\:? \\ $$
Answered by liberty last updated on 09/Dec/20
$$\:{by}\:{second}\:{Euler}\:{substitution}\: \\ $$$$\:{we}\:{set}\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:=\:{xt}\:+\:\mathrm{1}\:;\:{then}\: \\ $$$$\:{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\:=\:{x}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}{xt}\:+\:\mathrm{1}\:;\:{x}=\frac{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:{dx}\:=\:\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:{dt}\:;\: \\ $$$${I}=\:\int\frac{\left(\mathrm{1}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:\right)^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}\:{dx}\:=\:\mathrm{2}\int\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} }\:{dt}\: \\ $$$${I}\:=\:−\mathrm{2}{t}\:+\:\mathrm{ln}\:\mid\:\frac{\mathrm{1}+{t}}{\mathrm{1}−{t}}\:\mid\:+\:{c}\: \\ $$$${I}\:=\:−\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:−\mathrm{1}\right)}{{x}}\:+\:\mathrm{ln}\:\mid\:\frac{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}}{{x}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{1}}\:\mid\:+\:{c} \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:−\mathrm{1}\right)}{{x}}\:+\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{1}\:\mid\:+\:{c}\: \\ $$