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1-x-3-1-dx-

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Question Number 49032 by AdqhK ÐQeQqQ last updated on 01/Dec/18
∫(1/(x^3 +1))dx=??
$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=?? \\ $$
Answered by arvinddayama01@gmail.com. last updated on 01/Dec/18
∫(1/((x+1)(x^2 −x+1)))dx ∵a^3 +b^3 =(a+b)(a^2 −ab+b^2 ) (1/((x+1)(x^2 −x+1)))=(A/((x+1)))+((Bx+C)/((x^2 −x+1))) 1=Ax^2 −Ax+A+Bx^2 +Bx+Cx+C A+B=0 −A+B+C=0 A+C=1 A=1/3 B=−1/3 c=2/3 = (1/3)∫(1/(x+1))dx−(1/3)∫((x−2)/((x^2 −x+1)))dx =(1/3)ln(x+1)−(1/6)∫((2x−1−3)/(x^2 −x+1))dx =(1/3)ln(x+1)−(1/6)∫((2x−1)/(x^2 −x+1))dx+(3/6)∫(1/((x−(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 ))dx =(1/3)ln(x+1)−(1/6)ln(x^2 −x+1)+(1/2).(1/( (√3)/2))tan^(−1) (((x−(1/2))/((√3)/2))) +C =(1/3)ln(x+1)−(1/3)ln((√(x^2 −x+1)))+(1/( (√3)))tan^(−1) (((2x−1)/( (√3)))) +C =(1/3)ln(((x+1)/( (√(x^2 −x+1)))))+(1/( (√3)))tan^(−1) (((2x−1)/( (√3)))) +C
$$\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}{dx}\:\:\:\:\:\:\:\because{a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} =\left({a}+{b}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{{A}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{{Bx}+{C}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{1}={Ax}^{\mathrm{2}} −{Ax}+{A}+{Bx}^{\mathrm{2}} +{Bx}+{Cx}+{C} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{A}+{B}=\mathrm{0} \\ $$$$−{A}+{B}+{C}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{A}+{C}=\mathrm{1} \\ $$$${A}=\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\:\:\:{B}=−\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\:\:\:\:{c}=\mathrm{2}/\mathrm{3} \\ $$$$\:\:=\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{x}−\mathrm{2}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}−\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}/\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)\:\:+{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\:+{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\frac{{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\:+{C} \\ $$
Commented by AdqhK ÐQeQqQ last updated on 02/Dec/18
thanku very much sir
$${thanku}\:{very}\:{much}\:{sir} \\ $$
Answered by hknkrc46 last updated on 01/Dec/18
∫(1/(x^3 +1))dx=∫(1/((x+1)(x^2 −x+1)))dx =∫((A/(x+1)) + ((Bx+C)/(x^2 −x+1)))dx ∫(1/(x^3 +1))dx=∫((A/(x+1)) + ((Bx+C)/(x^2 −x+1)))dx ★ {(1/((x+1)(x^2 −x+1)))=(A/(x+1))_((x^2 −x+1)) + ((Bx+C)/(x^2 −x+1))_((x+1)) } {(1/((x+1)(x^2 −x+1)))=((A(x^2 −x+1))/((x+1)(x^2 −x+1))) + (((Bx+C)(x+1))/((x+1)(x^2 −x+1)))} {(1/((x+1)(x^2 −x+1)))=((A(x^2 −x+1)+(Bx+C)(x+1))/((x+1)(x^2 −x+1)))} {1=A(x^2 −x+1)+(Bx+C)(x+1)} {1=Ax^2 −Ax+A+Bx^2 +Bx+Cx+C} {1=(A+B)x^2 +(B+C−A)x+C+A} {A+B=0 , B+C−A=0 , C+A=1} {A=(1/3) , B=−(1/3) , C=(2/3)} ★ ∫(1/(x^3 +1))dx=∫((A/(x+1)) + ((Bx+C)/(x^2 −x+1)))dx ∫(1/(x^3 +1))dx=∫(((1/3)/(x+1)) + ((−(1/3)x+(2/3))/(x^2 −x+1)))dx =(1/3)∫((1/(x+1))−((x−2)/(x^2 −x+1)))dx =(1/3)∫((1/(x+1))−(((1/2)(2x−1)−(3/2))/(x^2 −x+1)))dx =(1/3)∫((1/(x+1))−(((1/2)(2x−1))/(x^2 −x+1))+((3/2)/(x^2 −x+1)))dx =(1/3)∫((1/(x+1))−(1/2)∙((2x−1)/(x^2 −x+1))+(3/2)∙(1/((x−(1/2))^2 +(3/4))))dx =(1/3)∫((1/(x+1))−(1/2)∙((2x−1)/(x^2 −x+1))+(3/2)∙(1/((x−(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 )))dx =(1/3)∫(dx/(x+1))−(1/6)∫((2x−1)/(x^2 −x+1))dx+(1/2)∫(dx/((x−(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 )) ∫(1/(x^3 +1))dx=I_1 +I_2 +I_3 ★★ {I_1 =(1/3)∫(dx/(x+1))} {I_2 =−(1/6)∫((2x−1)/(x^2 −x+1))dx} {I_3 =(1/2)∫(dx/((x−(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 ))} I_1 =(1/3)∫(dx/(x+1))=(1/3)∫(((d/dx)(x+1))/(x+1))dx=(1/3)ln ∣x+1∣+c_1 I_2 =−(1/6)∫((2x−1)/(x^2 −x+1))dx=−(1/6)∫(((d/dx)(x^2 −x+1))/(x^2 −x+1))dx=−(1/6)ln ∣x^2 −x+1∣+c_2 I_3 =(1/2)∫(dx/((x−(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 )) → { ((x−(1/2)=((√3)/2)tan α)),((dx=((√3)/2)sec^2 α dα)),((α=tan^(−1) (((2x−1)/( (√3)))))) :} I_3 =(1/2)∫((((√3)/2)sec^2 α)/((((√3)/2))^2 sec^2 α))dα=(1/( (√3)))∫dα=(1/( (√3)))α+c_3 I_3 =(1/( (√3)))tan^(−1) (((2x−1)/( (√3))))+c_3 ★★ ∫(1/(x^3 +1))dx=I_1 +I_2 +I_3 ∫(1/(x^3 +1))dx=(1/3)ln ∣x+1∣+c_1 −(1/6)ln ∣x^2 −x+1∣+c_2 +(1/( (√3)))tan^(−1) (((2x−1)/( (√3))))+c_3 ∫(1/(x^3 +1))dx=(1/3)ln ∣x+1∣−(1/6)ln ∣x^2 −x+1∣+(1/( (√3)))tan^(−1) (((2x−1)/( (√3))))+c_1 +c_2 +c_3 ♣ c_1 +c_2 +c_3 =c ⧫ a≠0 ∧ ∀x∈R ∧ △_((ax^2 +bx+c)) =b^2 −4ac<0 ⇒ { ((ax^2 +bx+c>0 ∧ ∣ax^2 +bx+c∣=ax^2 +bx+c , a>0)),((ax^2 +bx+c<0 ∧ ∣ax^2 +bx+c∣=−(ax^2 +bx+c) , a<0)) :} ⧫ △_(x^2 −x+1) =(−1)^2 −4∙1∙1=−3<0 ⇒∣x^2 −x+1∣=x^2 −x+1 (a=1>0) ∫(1/(x^3 +1))dx=(1/3)ln ∣x+1∣−(1/6)ln (x^2 −x+1)+(1/( (√3)))tan^(−1) (((2x−1)/( (√3))))+c
$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}{dx} \\ $$$$=\int\left(\frac{{A}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\:\frac{{Bx}+{C}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right){dx}\: \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\int\left(\frac{{A}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\:\frac{{Bx}+{C}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right){dx}\:\bigstar \\ $$$$\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}=\underset{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)} {\frac{{A}}{{x}+\mathrm{1}}}\:+\:\underset{\left({x}+\mathrm{1}\right)} {\frac{{Bx}+{C}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}\right\} \\ $$$$\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{{A}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}\:+\:\frac{\left({Bx}+{C}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}\right\} \\ $$$$\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{{A}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)+\left({Bx}+{C}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}\right\} \\ $$$$\left\{\mathrm{1}={A}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)+\left({Bx}+{C}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)\right\} \\ $$$$\left\{\mathrm{1}={Ax}^{\mathrm{2}} −{Ax}+{A}+{Bx}^{\mathrm{2}} +{Bx}+{Cx}+{C}\right\} \\ $$$$\left\{\mathrm{1}=\left({A}+{B}\right){x}^{\mathrm{2}} +\left({B}+{C}−{A}\right){x}+{C}+{A}\right\} \\ $$$$\left\{{A}+{B}=\mathrm{0}\:,\:{B}+{C}−{A}=\mathrm{0}\:,\:{C}+{A}=\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\left\{{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:,\:{B}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:,\:{C}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right\} \\ $$$$\bigstar\:\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\int\left(\frac{{A}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\:\frac{{Bx}+{C}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\int\left(\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\:\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}+\frac{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}={I}_{\mathrm{1}} +{I}_{\mathrm{2}} +{I}_{\mathrm{3}} \:\bigstar\bigstar \\ $$$$\left\{{I}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}\right\} \\ $$$$\left\{{I}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}\right\} \\ $$$$\left\{{I}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$${I}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{\frac{{d}}{{dx}}\left({x}+\mathrm{1}\right)}{{x}+\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{1}\mid+{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$${I}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\frac{{d}}{{dx}}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\:\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid+{c}_{\mathrm{2}} \\ $$$${I}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\:\rightarrow\:\begin{cases}{{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}\:\alpha}\\{{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \alpha\:{d}\alpha}\\{\alpha=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)}\end{cases} \\ $$$${I}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \alpha}{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \alpha}{d}\alpha=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int{d}\alpha=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\alpha+{c}_{\mathrm{3}} \\ $$$${I}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{c}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\bigstar\bigstar\:\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}={I}_{\mathrm{1}} +{I}_{\mathrm{2}} +{I}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{1}\mid+{c}_{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\:\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid+{c}_{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{c}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\:\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{c}_{\mathrm{1}} +{c}_{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\clubsuit\:{c}_{\mathrm{1}} +{c}_{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{3}} ={c} \\ $$$$\blacklozenge\:{a}\neq\mathrm{0}\:\wedge\:\forall{x}\in\mathbb{R}\:\wedge\:\bigtriangleup_{\left({ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}\right)} ={b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ac}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\begin{cases}{{ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}>\mathrm{0}\:\wedge\:\mid{ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}\mid={ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}\:,\:{a}>\mathrm{0}}\\{{ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}<\mathrm{0}\:\wedge\:\mid{ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}\mid=−\left({ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}\right)\:,\:{a}<\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\blacklozenge\:\bigtriangleup_{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\centerdot\mathrm{1}\centerdot\mathrm{1}=−\mathrm{3}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid={x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\:\left({a}=\mathrm{1}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{c} \\ $$

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