Question Number 119644 by bemath last updated on 25/Oct/20
$$\:\left(\mathrm{1}\right)\:\int\:{x}^{\mathrm{5}} \:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:{dx}\: \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 26/Oct/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\int\:{x}^{\mathrm{3}} \:\left({x}^{\mathrm{2}} \:\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:\right){dx}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{D}.{I}\:{method}\:\left(\:{by}\:{part}\:\right)\:\begin{cases}{{u}={x}^{\mathrm{3}} \rightarrow\:{du}=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }\\{{v}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:{dx}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }\end{cases} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}{x}^{\mathrm{3}} \left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\int\:\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} \right)\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} {dx} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}{x}^{\mathrm{3}} \left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} −\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{45}}\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}} +\:{C} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \left({x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\right)+\:{C} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{45}}\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\right)\:+\:{C}\: \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 26/Oct/20
$$\mathrm{Put}\:\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{2tdt}=\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2tdt}}{\mathrm{3}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} },\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{F}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\right)\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2t}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{15}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}{\mathrm{15}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{C} \\ $$
Commented by benjo_mathlover last updated on 26/Oct/20
$${it}\:{should}\:{be}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}{t}^{\mathrm{5}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{3}} \right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{15}}{t}^{\mathrm{5}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}{t}^{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 26/Oct/20
$$\mathrm{Ok},\mathrm{a}\:\mathrm{mistake}\:.\mathrm{I}\:\mathrm{corrected}.\mathrm{Thank}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 26/Oct/20
$$\left(\mathrm{2}\right)\:{set}\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\:=\:{z}\:{and}\:\mathrm{3}−\mathrm{2}\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:\frac{{dz}}{{dx}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\frac{{dz}}{{dx}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{dz}}{{dx}}\:=\:{z}^{\mathrm{2}} \:;\:\frac{{dz}}{{dx}}\:=\:\mathrm{3}−\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\int\:\frac{{dz}}{\mathrm{3}−\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}} }\:=\:\int\:{dx}\:;\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−{z}\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+{z}\sqrt{\mathrm{2}}}\right){dz}=\:{x}+{c} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\left(−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}+{z}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right)={x}+{c} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:}\:\mathrm{ln}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:{z}\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−{z}\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\:=\:{x}+{c}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}}\:\mathrm{ln}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\right)}\right)\:=\:{x}+{c} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\right)}\right)\:=\:\mathrm{2}{x}\sqrt{\mathrm{6}}\:+\:{C} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\right)}\:=\:\lambda{e}^{\mathrm{2}{x}\sqrt{\mathrm{6}}} \: \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 26/Oct/20
$$\left.\mathrm{1}\right){t}^{\mathrm{2}} ={x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{tdt}={x}^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$$$\int{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:\left({x}^{\mathrm{2}} {dx}\right) \\ $$$$\int\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({t}\right)\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{tdt}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int{t}^{\mathrm{4}} −{t}^{\mathrm{2}} \:\:\:{dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\frac{{t}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}}−\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right)+{c} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{15}\:}\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} +{c} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Olaf last updated on 26/Oct/20
$$\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${u}\:=\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1} \\ $$$$\frac{{du}}{{dx}}\:=\:\mathrm{3}−\mathrm{2}\frac{{dy}}{{dx}} \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{{du}}{{dx}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{{du}}{{dx}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:=\:{u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{{du}}{{dx}}\:=\:\mathrm{3}−\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{{du}}{\mathrm{3}−\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} }\:=\:{dx} \\ $$$$\frac{{du}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}{u}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}{u}\right)}\:=\:{dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}{u}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}+}\sqrt{\mathrm{2}}{u}}\right]{du}\:=\:{dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\mid\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}{u}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\mid\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}{u}\mid\right]\:=\:{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}{u}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}{u}}\mid\:=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mid\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}{u}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}{u}}\mid\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{3}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}{u}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}{u}}\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{4}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}{u}\:=\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}{u}\right)\mathrm{C}_{\mathrm{4}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}{u}\left(\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{4}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} \right)\:=\:\sqrt{\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{4}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} \right) \\ $$$${u}\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\left(\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{4}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{4}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} }\right)\:=\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1} \\ $$$${y}\:=\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\left(\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{4}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{C}_{\mathrm{4}} {e}^{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}{x}} }\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$