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1-x-d-2-y-dx-2-x-dy-dx-xy-1-1-x-x-1-has-power-series-solution-for-x-lt-1-

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Question Number 119567 by abdul88 last updated on 25/Oct/20
(1 −x)(d^2 y/dx^(2 ) ) + x(dy/dx) − xy = (1/(1 − x)) , x≠1 has power series solution for ∣x∣<1
$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\:−{x}\right)\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}\:} }\:+\:{x}\frac{{dy}}{{dx}}\:−\:{xy}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:{x}}\:,\:{x}\neq\mathrm{1} \\ $$$${has}\:{power}\:{series}\:{solution}\:{for}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}\: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Oct/20
e⇒(1−x)^2 y^(′′) +x(1−x)y^′ −x(1−x)y =1 (x≠1)let y=Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n ⇒y^′ =Σ_(n=1) ^∞ na_n x^(n−1) and y^(′′) =Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)x^(n−2) e⇒(x^2 −2x+1)Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−2) +(x−x^2 )Σ_(n=1) ^∞ na_n x^(n−1) +(x^2 −x)Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =1 ⇒ Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^n −2Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−1) +Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−2) +Σ_(n=1) ^∞ na_n x^n −Σ_(n=1) ^∞ na_n x^(n+1) +Σ_(n=0) ^∞ a_n x^(n+2) −Σ_(n=0) ^∞ a_n x^(n+1) =1 ⇒ ⇒Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^n −2Σ_(n=1) ^∞ (n+1)na_(n+1) x^n +Σ_(n=0) ^∞ (n+2)(n+1)a_(n+2) x^n +Σ_(n=1) ^∞ na_n x^n −Σ_(n=2) ^∞ (n−1)a_(n−1) x^n +Σ_(n=2) ^∞ a_(n−2) x^n −Σ_(n=1) ^∞ a_(n−1) x^n =1 ⇒ Σ_(n=2) ^∞ {n(n−1)a_n −2n(n+1)a_(n+1) +(n+1)(n+2)a_(n+2) +na_n −(n−1)a_(n−1) +a_(n−2) −a_(n−1) )x^n −4a_2 x+2a_2 +6a_3 x a_1 x−a_0 x =1 ⇒ Σ_(n=2) ^∞ {n^2 a_n −2n(n+1)a_(n+1) +(n+1)(n+2)a_(n+2) −na_(n−1) +a_(n−2) )x^n +...=1 ....be continued...
$$\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{''} +\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{y}^{'} −\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{y}\:=\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right)\mathrm{let}\:\mathrm{y}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{''} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{na}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left\{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} +\mathrm{na}_{\mathrm{n}} \right. \\ $$$$\left.−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\mathrm{4a}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{6a}_{\mathrm{3}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \mathrm{x}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left\{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{na}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$+…=\mathrm{1}\:\:….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$

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