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1-x-x-2-x-1-dx-

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Question Number 165528 by LEKOUMA last updated on 03/Feb/22
∫(1/(x+(√(x^2 +x+1))))dx
$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{dx} \\ $$
Commented by mkam last updated on 03/Feb/22
= ∫ (((√(x^2 +x+1)) −x)/((x+1))) dx = ∫ ((√((x+(1/2))^2 +(3/4)))/((x+1))) − (((x+1−1))/((x+1))) dx = ∫ ((√(u^2 +(3/4)))/(u + (1/2))) du − ∫ (1 − (1/(x+1))) dx Now: u = ((√3)/2) tanz = ∫ (((√((3/4) sec^2 z)) ×((√3)/2) sec^2 z)/(((√3)/2) tanz + (1/2))) dz−x + ln∣x+1∣+c = (√3) ∫ ((sec^3 z)/( (√(3 )) tanz + 1)) dz − x + ln∣x+1∣+c be contuted
$$=\:\int\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:−{x}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:{dx}\:=\:\int\:\frac{\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:−\:\frac{\left({x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:{dx} \\ $$$$ \\ $$$$=\:\int\:\frac{\sqrt{{u}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}}{{u}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:{du}\:−\:\int\:\left(\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right)\:{dx} \\ $$$$ \\ $$$$\:{Now}:\:{u}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:{tanz}\:\: \\ $$$$ \\ $$$$=\:\int\:\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:{sec}^{\mathrm{2}} {z}}\:×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:{sec}^{\mathrm{2}} {z}}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:{tanz}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:{dz}−{x}\:+\:{ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid+{c} \\ $$$$ \\ $$$$=\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\int\:\frac{{sec}^{\mathrm{3}} {z}}{\:\sqrt{\mathrm{3}\:}\:{tanz}\:+\:\mathrm{1}}\:{dz}\:−\:{x}\:+\:{ln}\mid{x}+\mathrm{1}\mid+{c} \\ $$$$ \\ $$$${be}\:{contuted} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 03/Feb/22
I=∫(1/(x+(√(x^2 +x+1))))dx=∫(dx/(x+(√((x+(1/2))^2 +(3/4))))) x+(1/2)=((√3)/2)shϑ ⇒dx=((√3)/2)chϑdϑ I=∫((((√3)/2)chϑ)/(((√3)/2)shϑ−(1/2)+((√3)/2)chϑ))dϑ=(√3)∫((chϑ)/( (√3)(shϑ+chϑ)−1))dϑ =((√3)/2)∫((e^ϑ +e^(−ϑ) )/( (√3)e^ϑ −1))dϑ=((√3)/2)∫((e^(2ϑ) −1)/( (√3)e^(2ϑ) −e^ϑ ))dϑ=((√3)/2)∫((t^2 −1)/( (√3)t^3 −t^2 ))dt =((√3)/2)∫((2/(1−(√3)t))+(((√3)t+1)/t^2 ))dt=−ln∣1−(√3)t∣+(3/2)ln∣t∣−((√3)/(2t))+C =−ln∣1−(√3)e^ϑ ∣+(3/2)ln∣e^ϑ ∣−((√3)/(2e^ϑ ))+C=−ln∣1−(√3)(chϑ+shϑ)∣+(3/2)ln∣chϑ+shϑ∣−((√3)/(2(chϑ+shϑ)))+C =−ln∣1−(√3)(((2x+1)/( (√3)))+((√(4x^2 +4x+4))/( (√3))))∣+(3/2)ln∣((2x+1)/( (√3)))+((√(4x^2 +4x+4))/( (√3)))∣−((√3)/(2(((2x+1)/( (√3)))+((√(4x^2 +4x+4))/( (√3))))))+C =−ln∣2x+2(√(x^2 +x+1))∣+(3/2)ln∣2x+1+2(√(x^2 +x+1))∣−(3/(2(2x+1+2(√(x^2 +x+1)))))+C
$${I}=\int\frac{\mathrm{1}}{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{dx}=\int\frac{{dx}}{{x}+\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}} \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sh}\vartheta\:\Rightarrow{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ch}\vartheta{d}\vartheta \\ $$$${I}=\int\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ch}\vartheta}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sh}\vartheta−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ch}\vartheta}{d}\vartheta=\sqrt{\mathrm{3}}\int\frac{\mathrm{ch}\vartheta}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{sh}\vartheta+\mathrm{ch}\vartheta\right)−\mathrm{1}}{d}\vartheta \\ $$$$\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int\frac{{e}^{\vartheta} +{e}^{−\vartheta} }{\:\sqrt{\mathrm{3}}{e}^{\vartheta} −\mathrm{1}}{d}\vartheta=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int\frac{{e}^{\mathrm{2}\vartheta} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{e}^{\mathrm{2}\vartheta} −{e}^{\vartheta} }{d}\vartheta=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{3}} −{t}^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}{t}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{t}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }\right){dt}=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}{t}\mid+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid{t}\mid−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{t}}+{C} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}{e}^{\vartheta} \mid+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid{e}^{\vartheta} \mid−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{e}^{\vartheta} }+{C}=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{ch}\vartheta+\mathrm{sh}\vartheta\right)\mid+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{ch}\vartheta+\mathrm{sh}\vartheta\mid−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{ch}\vartheta+\mathrm{sh}\vartheta\right)}+{C} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\mid+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mid−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)}+{C} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\mid+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\mid−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\right)}+{C} \\ $$

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