Question Number 101601 by Dwaipayan Shikari last updated on 03/Jul/20
$$\int_{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}} \frac{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$
Answered by bemath last updated on 03/Jul/20
$$\int\:\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{x}−\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{2}} =\:\int\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{dx}\: \\ $$$$\left[\:{x}\:=\:\mathrm{tan}\:{p}\:\right]\: \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{2}} \:=\:\int\:\frac{\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {p}\:.\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} {p}\:{dp}}{\mathrm{sec}\:^{\mathrm{4}} {p}} \\ $$$$=\:\int\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {p}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {p}\:{dp}\: \\ $$$$=\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{p}\right)\:{dp} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{p}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{p}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)−\frac{{x}}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$${I}=\:\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$