Question Number 59763 by ANTARES VY last updated on 14/May/19
$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}+\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{simplify}}. \\ $$
Answered by Kunal12588 last updated on 14/May/19
$$\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}=\sqrt{\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}+\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}} \\ $$$$=\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}}\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$