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2-3-2-2-3-2-3-2-2-3-simplify-




Question Number 59764 by ANTARES VY last updated on 14/May/19
((2+(√3))/( (√2)+(√(2+(√3)))))+((2−(√3))/( (√2)−(√(2−(√3))))).  simplify.
$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}+\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}}. \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{simplify}}. \\ $$
Answered by Kunal12588 last updated on 14/May/19
((2+(√3))/( (√2)+(√(2+(√3)))))+((2−(√3))/( (√2)−(√(2−(√3)))))  =(((√2)(2+(√3)))/(3+(√3)))+(((√2)(2−(√3)))/(3−(√3)))  =(√2)(((6+(√3)−3+6−(√3)−3)/(9−3)))  =(√2)
$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}+\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{6}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}+\mathrm{6}−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}}{\mathrm{9}−\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Kunal12588 last updated on 14/May/19
finding roots of surds   of type (√(a±(√b)))  (√(a±(√b)))=(√m)±(√n)  ⇒a±b=(m+n)±2(√(mn))  ⇒m+n=a , 4mn=b  ⇒m−n=(√((m+n)^2 −4mn))=(√(a^2 −b))  ⇒m=((a+(√(a^2 −b)))/2) , n=((a−(√(a^2 −b)))/2)  ∴(√(a±(√b)))=(((√(a+(√(a^2 −b))))±(√(a−(√(a^2 −b)))))/( (√2)))  example  (√(2+(√3)))=(((√(2+(√(4−3))))+(√(2−(√(4−3)))))/( (√2)))=(((√3)+1)/( (√2)))  (√(2−(√3)))=(((√(2+(√(4−3))))−(√(2−(√(4−3)))))/( (√2)))=(((√3)−1)/( (√2)))  (√(14−3(√3)))=(((√(14+(√(196−27))))−(√(14−(√(196−27)))))/( (√2)))=((3(√3)−1)/( (√2)))
$${finding}\:{roots}\:{of}\:{surds}\: \\ $$$${of}\:{type}\:\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}} \\ $$$$\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}}=\sqrt{{m}}\pm\sqrt{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{a}\pm{b}=\left({m}+{n}\right)\pm\mathrm{2}\sqrt{{mn}} \\ $$$$\Rightarrow{m}+{n}={a}\:,\:\mathrm{4}{mn}={b} \\ $$$$\Rightarrow{m}−{n}=\sqrt{\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{mn}}=\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}} \\ $$$$\Rightarrow{m}=\frac{{a}+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}{\mathrm{2}}\:,\:{n}=\frac{{a}−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}}=\frac{\sqrt{{a}+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}\pm\sqrt{{a}−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$${example} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}+\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{14}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{14}+\sqrt{\mathrm{196}−\mathrm{27}}}−\sqrt{\mathrm{14}−\sqrt{\mathrm{196}−\mathrm{27}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$

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