Question Number 161868 by cortano last updated on 23/Dec/21
$$\:\:\left(\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:\right)^{{x}} \:+\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{{x}} }\:=\:\mathrm{2}^{{x}} \\ $$$$\:\:{x}=? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Dec/21
$${a}=\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:,\:\frac{\mathrm{1}}{{a}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}×\frac{\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}=\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}\: \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }=\left(\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\:=\mathrm{4}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\mathrm{2} \\ $$