Question Number 147749 by cesarL last updated on 23/Jul/21
$$\int\frac{\sqrt{\mathrm{2}−{x}^{\mathrm{2}} }+\sqrt{\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{4}−{x}^{\mathrm{4}} }}{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 23/Jul/21
$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}+\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}\:+\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}=_{\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{t}} \:\:\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}.\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dt}\:=\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$$=\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} =\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{k}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=_{\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{t}} \:\:\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{arcsint}\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} =\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{C} \\ $$