Question Number 87439 by mary_ last updated on 04/Apr/20
$$\begin{cases}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} .\mathrm{3}^{\mathrm{y}} =\mathrm{6}}\\{\mathrm{3}^{\mathrm{x}} .\mathrm{4}^{\mathrm{y}} =\mathrm{12}}\end{cases} \\ $$
Commented by john santu last updated on 04/Apr/20
$$\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} .\mathrm{3}^{\mathrm{y}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{y}} .\mathrm{3}^{\mathrm{x}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\mathrm{3}^{\mathrm{y}−\mathrm{x}} \:=\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2y}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{y}−\mathrm{x}} \:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{2y}−\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{y}−\mathrm{x}\:=\:\left(\mathrm{2y}−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)…\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} .\:\mathrm{3}^{\mathrm{y}} \:=\:\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{3}^{\mathrm{1}−\mathrm{y}} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{2}\right)=\:\mathrm{1}−\mathrm{y}\:…\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$
Commented by mr W last updated on 04/Apr/20
![2^(x−1) 3^(y−1) =1 ⇒y−1=(((x−1)ln 2)/(ln 3)) 3^(x−1) 4^(y−1) =1 ⇒y−1=(((x−1)ln 3)/(ln 4)) (x−1)[((ln 2)/(ln 3))−((ln 3)/(ln 4))]=0 ⇒x−1=0 ⇒x=1 ⇒y−1=0 ⇒y=1](https://www.tinkutara.com/question/Q87444.png)
$$\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} \mathrm{3}^{{y}−\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow{y}−\mathrm{1}=\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{3}^{{x}−\mathrm{1}} \mathrm{4}^{{y}−\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow{y}−\mathrm{1}=\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{4}} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left[\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{4}}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{1} \\ $$