Question Number 127870 by Eric002 last updated on 02/Jan/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2021} \\ $$$${HAPPY}\:{NEW}\:{Year} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\int\frac{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)}{dx} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\int\frac{\mathrm{2}{cos}\left({x}\right)−{sin}\left({x}\right)}{\mathrm{3}{sin}\left({x}\right)+\mathrm{5}{cos}\left({x}\right)}{dx} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\int\frac{{tan}\left(\mathrm{2}{x}\right)}{\:\sqrt{{sin}^{\mathrm{6}} \left({x}\right)+{cos}^{\mathrm{6}} \left({x}\right)}}{dx} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{4}\right)\int{x}\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:{dx} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 02/Jan/21
$$\int{x}\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:{dx}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} ={u}\Rightarrow\mathrm{2}{x}=\frac{{du}}{{dx}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{u}}{\mathrm{1}+{u}}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{u}^{\mathrm{2}} }}−\frac{{u}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{u}^{\mathrm{2}} }}{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{sin}^{−\mathrm{1}} \left({x}^{\mathrm{2}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{4}} }\:\: \\ $$
Commented by Eric002 last updated on 02/Jan/21
$${thank}\:{you} \\ $$
Answered by liberty last updated on 03/Jan/21
$$\left(\mathrm{2}\right)\int\:\frac{−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:= \\ $$$$\:\frac{−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}\:}{\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}\right)+\mathrm{Q}\left(\frac{\mathrm{3cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{5sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}=\left(\mathrm{3P}−\mathrm{5Q}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\left(\mathrm{5P}+\mathrm{3Q}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\begin{pmatrix}{\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:−\mathrm{5}}\\{\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}}\end{pmatrix}\:\begin{pmatrix}{\mathrm{P}}\\{\mathrm{Q}}\end{pmatrix}\:=\:\begin{pmatrix}{−\mathrm{1}}\\{\:\:\:\mathrm{2}}\end{pmatrix}\:\begin{cases}{\mathrm{P}=\frac{\begin{vmatrix}{−\mathrm{1}\:\:\:\:−\mathrm{5}}\\{\:\:\:\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}}\end{vmatrix}}{\mathrm{34}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{34}}}\\{\mathrm{Q}=\frac{\begin{vmatrix}{\mathrm{3}\:\:\:\:−\mathrm{1}}\\{\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\end{vmatrix}}{\mathrm{34}}=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{34}}}\end{cases}\: \\ $$$$\mathrm{then}\:\int\:\frac{−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{34}}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{34}}\:\ell\mathrm{n}\:\mid\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}\:\mid\:+\:\mathrm{C} \\ $$