Question Number 21259 by oyshi last updated on 17/Sep/17
$$\mathrm{2cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{13}}\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{9}\pi}{\mathrm{13}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{13}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{13}}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by myintkhaing last updated on 18/Sep/17
$$\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}=\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{10}\pi}{\mathrm{13}}\:+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{8}\pi}{\mathrm{13}}\:+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{13}}\:+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{13}} \\ $$$$=\mathrm{cos}\left(\pi−\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{13}}\right)+\mathrm{cos}\left(\pi−\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{13}}\right)+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{13}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{13}} \\ $$$$=\:−\mathrm{cos}\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{13}}−\mathrm{cos}\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{13}}+\mathrm{cos}\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{13}}+\mathrm{cos}\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{13}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$