2x-1-2-x-1-2-2x-2-

Question Number 86128 by M±th+et£s last updated on 27/Mar/20

$$\lfloor\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\lfloor\mid{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\mathrm{2}{x}−\mathrm{2} \\ $$

Answered by mr W last updated on 27/Mar/20

⌊2x−(1/2)⌋−⌊∣x∣−(1/2)⌋=2x−2 ⌊2x−(1/2)⌋−⌊∣x∣−(1/2)⌋=2x−2=n= { ((2k)),((2k+1)) :} ⇒x=(n/2)+1= { ((k+1)),((k+(3/2))) :} case n≥−2 or k≥−1 x≥0 ⌊2x−(1/2)⌋=⌊n+1+(1/2)⌋=n+1= { ((2k+1)),((2k+2)) :} ⌊∣x∣−(1/2)⌋=⌊(n/2)+(1/2)⌋= { (k),((k+1)) :} 2k+1−k=2k ⇒k=1 ⇒n=2 ⇒x=2 2k+2−k−1=2k+1 ⇒k=0 ⇒n=1 ⇒ x=(3/2) case n<−2 or k<−1 x<0 ⌊2x−(1/2)⌋=⌊n+1+(1/2)⌋=n+1= { ((2k+1)),((2k+2)) :} ⌊∣x∣−(1/2)⌋=⌊−(n/2)−2+(1/2)⌋= { ((−k−2)),((−k−2)) :} 2k+1+k+2=2k ⇒k=−3 ⇒n=−6 ⇒x=−2 2k+2+k+2=2k+1 ⇒k=−3 ⇒n=−5 ⇒x=−(3/2) summary of solutions: x=−2, −(3/2), (3/2), 2

$$\lfloor\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor−\lfloor\mid{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\mathrm{2}{x}−\mathrm{2} \\ $$$$\lfloor\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor−\lfloor\mid{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}={n}=\begin{cases}{\mathrm{2}{k}}\\{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{{n}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}=\begin{cases}{{k}+\mathrm{1}}\\{{k}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$${case}\:{n}\geqslant−\mathrm{2}\:{or}\:{k}\geqslant−\mathrm{1} \\ $$$${x}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\lfloor\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\lfloor{n}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor={n}+\mathrm{1}=\begin{cases}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}{k}+\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\lfloor\mid{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\lfloor\frac{{n}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\begin{cases}{{k}}\\{{k}+\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}−{k}=\mathrm{2}{k} \\ $$$$\Rightarrow{k}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{n}=\mathrm{2}\:\Rightarrow{x}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}{k}+\mathrm{2}−{k}−\mathrm{1}=\mathrm{2}{k}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{k}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{n}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$${case}\:{n}<−\mathrm{2}\:{or}\:{k}<−\mathrm{1} \\ $$$${x}<\mathrm{0} \\ $$$$\lfloor\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\lfloor{n}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor={n}+\mathrm{1}=\begin{cases}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}{k}+\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\lfloor\mid{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\lfloor−\frac{{n}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\rfloor=\begin{cases}{−{k}−\mathrm{2}}\\{−{k}−\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}+{k}+\mathrm{2}=\mathrm{2}{k} \\ $$$$\Rightarrow{k}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow{n}=−\mathrm{6}\:\Rightarrow{x}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}{k}+\mathrm{2}+{k}+\mathrm{2}=\mathrm{2}{k}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{k}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow{n}=−\mathrm{5}\:\Rightarrow{x}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$${summary}\:{of}\:{solutions}: \\ $$$${x}=−\mathrm{2},\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}},\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{2} \\ $$

Commented by M±th+et£s last updated on 27/Mar/20