2x-1-x-2-4x-5-dx-

Question Number 145775 by Engr_Jidda last updated on 08/Jul/21

$$\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}}{dx} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Jul/21

Υ=∫ ((2x+4−3)/( (√(x^2 +4x+5))))dx =∫ ((2x+4)/( (√(x^2 +4x+5))))dx−3∫ (dx/( (√(x^2 +4x+5)))) =2(√(x^2 +4x+5))−3I I=∫ (dx/( (√(x^2 +4x+4+1))))=∫ (dx/( (√((x+2)^2 +1)))) =_(x+2=sht) ∫ ((cht)/(cht))dt =t+K =argsh(x+2)+K =log(x+2+(√(1+(x+2)^2 )))+K ⇒ Υ=2(√(x^2 +4x+5))−3log(x+2+(√(x^2 +4x+5))) +K

$$\Upsilon=\int\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{4}−\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}}\mathrm{dx}−\mathrm{3}\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3I} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{4}+\mathrm{1}}}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$=_{\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{sht}} \:\:\:\int\:\frac{\mathrm{cht}}{\mathrm{cht}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{t}+\mathrm{K}\:=\mathrm{argsh}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{K} \\ $$$$=\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{1}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{K}\:\Rightarrow \\ $$$$\Upsilon=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{5}}\right)\:+\mathrm{K} \\ $$

Answered by ArielVyny last updated on 08/Jul/21

∫((2x+1)/( (√((x+2)^2 +1))))dx t=x+2→dt=dx ∫((2(t−2)+1)/( (√(t^2 +1))))dt=∫((2t)/( (√(t^2 +1))))dt−3∫(1/( (√(t^2 +1))))dt 2(√(t^2 +1))−3argsh(t)+cte

$$\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dx} \\ $$$${t}={x}+\mathrm{2}\rightarrow{dt}={dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2}\left({t}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt}=\int\frac{\mathrm{2}{t}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt}−\mathrm{3}\int\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{3}{argsh}\left({t}\right)+{cte} \\ $$

Commented by ArielVyny last updated on 08/Jul/21

$$\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3}{argsh}\left({x}+\mathrm{2}\right)+{cte} \\ $$

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