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2x-1-x-2-4x-5-dx-




Question Number 145775 by Engr_Jidda last updated on 08/Jul/21
∫((2x+1)/( (√(x^2 +4x+5))))dx
$$\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}}{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Jul/21
Υ=∫  ((2x+4−3)/( (√(x^2  +4x+5))))dx =∫  ((2x+4)/( (√(x^2  +4x+5))))dx−3∫ (dx/( (√(x^2  +4x+5))))  =2(√(x^2  +4x+5))−3I  I=∫ (dx/( (√(x^2  +4x+4+1))))=∫ (dx/( (√((x+2)^2 +1))))  =_(x+2=sht)    ∫ ((cht)/(cht))dt =t+K =argsh(x+2)+K  =log(x+2+(√(1+(x+2)^2 )))+K ⇒  Υ=2(√(x^2  +4x+5))−3log(x+2+(√(x^2 +4x+5))) +K
$$\Upsilon=\int\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{4}−\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}}\mathrm{dx}−\mathrm{3}\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3I} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{4}+\mathrm{1}}}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$=_{\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{sht}} \:\:\:\int\:\frac{\mathrm{cht}}{\mathrm{cht}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{t}+\mathrm{K}\:=\mathrm{argsh}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{K} \\ $$$$=\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{1}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{K}\:\Rightarrow \\ $$$$\Upsilon=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{5}}\right)\:+\mathrm{K} \\ $$
Answered by ArielVyny last updated on 08/Jul/21
∫((2x+1)/( (√((x+2)^2 +1))))dx  t=x+2→dt=dx  ∫((2(t−2)+1)/( (√(t^2 +1))))dt=∫((2t)/( (√(t^2 +1))))dt−3∫(1/( (√(t^2 +1))))dt  2(√(t^2 +1))−3argsh(t)+cte
$$\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dx} \\ $$$${t}={x}+\mathrm{2}\rightarrow{dt}={dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2}\left({t}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt}=\int\frac{\mathrm{2}{t}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt}−\mathrm{3}\int\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{3}{argsh}\left({t}\right)+{cte} \\ $$
Commented by ArielVyny last updated on 08/Jul/21
2(√(x^2 +2x+5))−3argsh(x+2)+cte
$$\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3}{argsh}\left({x}+\mathrm{2}\right)+{cte} \\ $$

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