Question Number 145775 by Engr_Jidda last updated on 08/Jul/21
$$\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}}{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Jul/21
$$\Upsilon=\int\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{4}−\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}}\mathrm{dx}−\mathrm{3}\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3I} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{4}+\mathrm{1}}}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$=_{\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{sht}} \:\:\:\int\:\frac{\mathrm{cht}}{\mathrm{cht}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{t}+\mathrm{K}\:=\mathrm{argsh}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{K} \\ $$$$=\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{1}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{K}\:\Rightarrow \\ $$$$\Upsilon=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{5}}\right)\:+\mathrm{K} \\ $$
Answered by ArielVyny last updated on 08/Jul/21
$$\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dx} \\ $$$${t}={x}+\mathrm{2}\rightarrow{dt}={dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2}\left({t}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt}=\int\frac{\mathrm{2}{t}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt}−\mathrm{3}\int\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{dt} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{3}{argsh}\left({t}\right)+{cte} \\ $$
Commented by ArielVyny last updated on 08/Jul/21
$$\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\mathrm{3}{argsh}\left({x}+\mathrm{2}\right)+{cte} \\ $$