Question Number 125440 by bramlexs22 last updated on 11/Dec/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{3}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right)}\:{dx}\: \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 11/Dec/20
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)+\left(\mathrm{bx}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)} \\ $$$$\mathrm{set}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:−\mathrm{4}=\mathrm{4a}\:\Rightarrow\:\mathrm{a}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Comparing}\:\mathrm{coefficients}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{get}; \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Comparing}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}; \\ $$$$\mathrm{5a}−\mathrm{c}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\mathrm{c}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{3x}−\mathrm{2}=\lambda\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)\right\}+\mu=\lambda\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)+\mu \\ $$$$\mathrm{Comparing}\:\mathrm{coefs}\:\mathrm{2}\lambda=\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\lambda=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}},\:\mu−\mathrm{2}\lambda=−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mu=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3x}−\mathrm{2}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\int\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int\left\{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}}\right\}\mathrm{dx} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 11/Dec/20
$$\int−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}+\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{log}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right)−{log}\left({x}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{C} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 11/Dec/20
Answered by john_santu last updated on 11/Dec/20