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2x-3y-2z-2-

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Question Number 21264 by AKBAR ALU HUSAIN last updated on 18/Sep/17
2x+3y+2z=2
$$\mathrm{2x}+\mathrm{3y}+\mathrm{2z}=\mathrm{2} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 18/Sep/17
assumed x,y,z∈Z 2x+3y=u u+2z=2 for u+2z=2 we get a particular solution u_1 =−2, z_1 =2 ⇒u=−2+2m=−2(1−m)=−2i ⇒z=2−m=1+(1−m)=1+i for 2x+3y=1 we get a particular solution x_1 =2, y_1 =−1 ⇒x=2+3k ⇒y=−1−2k for 2x+3y=u we have then ⇒x=(2+3k)u=2(−2i)+3ku=−4i+3ku=−4i+3j ⇒y=(−1−2k)u=−(−2i)−2ku=2i−2ku=2i−2j the general solution for 2x+3y+2z=2 is: x=−4i+3j y=2i−2j z=1+i with i,j∈Z check: 2x+3y+2z =2(−4i+3j)+3(2i−2j)+2(1+i) =−8i+6j+6i−6j+2+2i =2 ⇒ ok
$$\mathrm{assumed}\:\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\in\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{3y}=\mathrm{u} \\ $$$$\mathrm{u}+\mathrm{2z}=\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{for}\:\boldsymbol{\mathrm{u}}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{z}}=\mathrm{2}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2},\:\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}=−\mathrm{2}+\mathrm{2m}=−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{m}\right)=−\mathrm{2i} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{2}−\mathrm{m}=\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{m}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{i} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{y}}=\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2},\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{2}+\mathrm{3k} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=−\mathrm{1}−\mathrm{2k} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{y}}=\boldsymbol{\mathrm{u}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{then} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\left(\mathrm{2}+\mathrm{3k}\right)\mathrm{u}=\mathrm{2}\left(−\mathrm{2i}\right)+\mathrm{3ku}=−\mathrm{4i}+\mathrm{3ku}=−\mathrm{4i}+\mathrm{3j} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2k}\right)\mathrm{u}=−\left(−\mathrm{2i}\right)−\mathrm{2ku}=\mathrm{2i}−\mathrm{2ku}=\mathrm{2i}−\mathrm{2j} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{y}}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{z}}=\mathrm{2}\:\mathrm{is}: \\ $$$$\mathrm{x}=−\mathrm{4i}+\mathrm{3j} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{2i}−\mathrm{2j} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{1}+\mathrm{i} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{i},\mathrm{j}\in\mathbb{Z} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{check}: \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{3y}+\mathrm{2z} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(−\mathrm{4i}+\mathrm{3j}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{2i}−\mathrm{2j}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right) \\ $$$$=−\mathrm{8i}+\mathrm{6j}+\mathrm{6i}−\mathrm{6j}+\mathrm{2}+\mathrm{2i} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{ok} \\ $$

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