Question Number 180565 by depressiveshrek last updated on 13/Nov/22
$$\left(\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\left(\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}{y}\right)^{\mathrm{3}} =? \\ $$$${Show}\:{full}\:{solution} \\ $$
Commented by Frix last updated on 13/Nov/22
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=−\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\:{y}=−\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Nov/22
$$\underset{\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}{y}\right)^{\mathrm{3}} =?} {\left(\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\left(\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)=\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\centerdot\frac{\mathrm{3}{y}−\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{3}{y}−\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{3}{y}−\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\mathrm{3}{y}−\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}+\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:}{\left(\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\right)} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}−\frac{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}\right)\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}{y}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}{y}}{\:\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}{y}=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}{y}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$
Answered by cortano2 last updated on 14/Nov/22
$$\left(\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\left(\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{1}\Rightarrow{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{1}\Rightarrow{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}{y}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 14/Nov/22
$$\mathrm{that}'\mathrm{s}\:\mathrm{not}\:\mathrm{enough},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{just}\:\mathrm{one}\:\mathrm{case}.\:\mathrm{what}\:\mathrm{if} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\neq\mathrm{1}? \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}={a}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{4}{a}} \\ $$$$\mathrm{3}{y}+\sqrt{\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{{a}}\:\Rightarrow\:{y}=\frac{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}{a}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}{y}=\mathrm{0} \\ $$