Question Number 78581 by john santu last updated on 18/Jan/20
$$\int\:\frac{\mathrm{2}{x}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:{dx}\:? \\ $$
Commented by john santu last updated on 19/Jan/20
$${consider}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:×\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}\:= \\ $$$$\frac{\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}\:×\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${now}\:{use}\:{integration}\:{by}\:{parts} \\ $$$${where}\:{u}\:=\:\frac{\mathrm{2}{x}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}\:\Rightarrow{du}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}} \\ $$$${dv}\:=\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)}\:{dx}\:\Rightarrow\:{v}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}} \\ $$$${I}\:=\:{u}.{v}\:−\int\:{v}\:{du} \\ $$$${I}\:=\:\frac{\mathrm{2}{x}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}.\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}}\:−\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}}\right).\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}\:{dx} \\ $$$${I}\:=\:\frac{\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\right)}−\:\int\:\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}} \\ $$$${I}=\:\frac{\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\right)}\:−\int\:\frac{{dx}}{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}} \\ $$$${I}\:=\:\frac{\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\right)}\:+\frac{\mathrm{cot}\:{x}}{\mathrm{2}}\:+\:{c} \\ $$
Commented by john santu last updated on 19/Jan/20
$${I}=\frac{\mathrm{4}{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}}{\left(\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\right)}+\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{2sin}\:{x}} \\ $$$${I}=\:\frac{\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{2sin}\:{x}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\right)}\:+\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{2sin}\:{x}} \\ $$$${I}=\:\frac{\mathrm{4}{x}\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{2}{x}\:\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{2sin}\:{x}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\right)} \\ $$$${I}\:=\:\frac{\mathrm{2}{x}\:\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{2sin}\:{x}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\right)}\:+{c} \\ $$$${I}=\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)}{\mathrm{2sin}\:{x}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\right)}\:+{c} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 19/Jan/20
$$\mathrm{waww} \\ $$
Commented by john santu last updated on 19/Jan/20
$${thanks} \\ $$