Question Number 103769 by bemath last updated on 17/Jul/20
$$\mathrm{2}{y}''−{y}'+{y}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Jul/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{by}\:\mathrm{laplace}\:\mathrm{transform} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)−\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\left\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{xy}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)\right\}−\left(\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\right)\:+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{2y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{2y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \mathrm{dt}\:=\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \mathrm{dt}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{3i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:=−\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{3i}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3i}}\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{3i}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)\:+\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{2y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Delta\:=\mathrm{1}−\mathrm{8}\:=−\mathrm{7}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{4}}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{eazy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\right)\:=\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \:\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\:\mathrm{a}^{'} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:+\mathrm{b}^{'} \mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\alpha\:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{3i}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{3i}}\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{g}\right)\:=\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3ix}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3ix}} \:+\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\:\alpha\:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:+\beta\mathrm{sis}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{a}^{'} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)\:+\mathrm{b}^{'} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)\:+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\alpha\:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:+\beta\:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\}… \\ $$