Question Number 191443 by MATHEMATICSAM last updated on 24/Apr/23
$$\left(\mathrm{3}^{\mathrm{100}} \:+\:\mathrm{2}^{\mathrm{100}} \right),\:\mathrm{4}^{\mathrm{100}} \:\mathrm{which}\:\mathrm{is}\:\mathrm{greater}? \\ $$$$\mathrm{Give}\:\mathrm{proof}. \\ $$
Answered by Frix last updated on 24/Apr/23
$$\mathrm{4}^{\mathrm{100}} =\mathrm{2}^{\mathrm{200}} >\mathrm{2}^{\mathrm{100}} +\mathrm{3}^{\mathrm{100}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{200}} −\mathrm{2}^{\mathrm{100}} >\mathrm{3}^{\mathrm{100}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{100}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{100}} −\mathrm{1}\right)>\mathrm{3}^{\mathrm{100}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{100}} −\mathrm{1}>\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{100}} \:\mathrm{which}\:\mathrm{is}\:\mathrm{obvious} \\ $$
Answered by mehdee42 last updated on 24/Apr/23
$$\mathrm{4}^{\mathrm{100}} =\mathrm{16}^{\mathrm{50}} >\mathrm{13}^{\mathrm{50}} =\left(\mathrm{4}+\mathrm{9}\right)^{\mathrm{50}} >\mathrm{4}^{\mathrm{50}} +\mathrm{9}^{\mathrm{50}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}^{\mathrm{100}} >\mathrm{2}^{\mathrm{100}} +\mathrm{3}^{\mathrm{100}} \\ $$