Question Number 84904 by john santu last updated on 17/Mar/20
$$\mathrm{3}^{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} } \:+\:\mathrm{3}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}} \:\geqslant\:\mathrm{10}.\:\mathrm{3}^{\mathrm{4x}+\mathrm{6}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by john santu last updated on 17/Mar/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{3}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:=\:\mathrm{u}\:\&\:\mathrm{3}^{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{v} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9uv}−\mathrm{10v}^{\mathrm{2}} \:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{u}−\mathrm{v}\right)\left(\mathrm{u}+\mathrm{10v}\right)\:\geqslant\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}\:\geqslant\:\mathrm{v}\:,\:\mathrm{3}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\geqslant\:\mathrm{3}^{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}\:\geqslant\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{x}\:\leqslant\:−\mathrm{1}\:\vee\:\mathrm{x}\:\geqslant\:\mathrm{3}\: \\ $$