Question Number 105843 by bobhans last updated on 01/Aug/20
$$\left(\mathrm{3}{x}\right)^{\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)} \:>\:\mathrm{81}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$${find}\:{the}\:{solution}\:{set}\: \\ $$
Answered by bemath last updated on 01/Aug/20
$$\left(\mathrm{3}{x}\right)^{\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)} \:>\:\mathrm{9}\left(\mathrm{3}{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right){domain}\:{x}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)\right)\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)\right)>\: \\ $$$$\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{9}.\left(\mathrm{3}{x}\right)^{\mathrm{2}} \right)\: \\ $$$$\Rightarrow{let}\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)\:=\:{b}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{b}\right)\left({b}\right)\:>\:\mathrm{2}+\mathrm{2}{b} \\ $$$${b}^{\mathrm{2}} +{b}−\mathrm{2}{b}−\mathrm{2}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$${b}^{\mathrm{2}} −{b}−\mathrm{2}\:>\:\mathrm{0}\:\rightarrow\begin{cases}{{b}\:<\:−\mathrm{1}}\\{{b}\:>\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)\:<\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)}\\{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)\:>\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{9}\right)}\end{cases} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{{x}\:<\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}}\\{{x}\:>\:\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$$${solution}\:{set}\::\:\mathrm{0}\:<\:{x}\:<\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\:\cup\:{x}>\mathrm{3} \\ $$
Commented by Coronavirus last updated on 01/Aug/20
clean
Answered by bobhans last updated on 01/Aug/20
$$\left(\mathrm{3}{x}\right)^{\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)} \:>\:\left(\mathrm{3}{x}\right)^{\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{3}{x}\right)} \:\left(\mathrm{81}{x}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3}{x}\right)−\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{3}{x}\right)} \left(\mathrm{81}{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)−\left\{\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)}\right\}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)\right)\left(\frac{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{since}\:{x}\:>\mathrm{0}\:{then}\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\:>\mathrm{0} \\ $$$${so}\:\frac{\left(\mathrm{2}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)\right)\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)}\:>\mathrm{0} \\ $$$${let}\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)\:=\:\upsilon\:\Rightarrow\:\frac{\left(\mathrm{2}+\vartheta\right)\left(\vartheta−\mathrm{1}\right)}{\vartheta+\mathrm{1}}>\mathrm{0} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{−\mathrm{2}<\vartheta<−\mathrm{1}\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}<{x}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\\{\vartheta>\mathrm{1}\rightarrow{x}\:>\:\mathrm{3}\:}\end{cases} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 01/Aug/20
![We need the condition x>0 Take logarithm both two side of ineqn. by base 3 we get (1+log_3 (3x))log_3 (3x)>log_3 (81x^2 )=log_3 81+log_3 (x^2 ) ⇔(2+log_3 x)(1+log_3 x)>2log_3 x+4 Set log_3 x=y we get (y+2)(1+y)−2y−4>0 ⇔y^2 +y−2>0⇔(y−1)(y+2)>0 ⇔ [((y>1)),((y<−2)) ]⇔ [((log_3 x>1⇔x>3)),((log_3 x<−2⇔0<x<(1/9))) ] Thus,the roots of the given ineqn.is x∈(0;(1/9))∪(3;+∞)](https://www.tinkutara.com/question/Q105872.png)
$$\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:\mathrm{the}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Take}\:\mathrm{logarithm}\:\mathrm{both}\:\mathrm{two}\:\mathrm{side}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{ineqn}.\:\mathrm{by}\:\mathrm{base}\:\mathrm{3}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3x}\right)\right)\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3x}\right)>\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{81x}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{81}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{2}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}\right)>\mathrm{2log}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{Set}\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}=\mathrm{y}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\mathrm{y}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{2y}−\mathrm{4}>\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}−\mathrm{2}>\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{2}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{bmatrix}{\mathrm{y}>\mathrm{1}}\\{\mathrm{y}<−\mathrm{2}}\end{bmatrix}\Leftrightarrow\begin{bmatrix}{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}>\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{x}>\mathrm{3}}\\{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}<−\mathrm{2}\Leftrightarrow\mathrm{0}<\mathrm{x}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}}\end{bmatrix} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{ineqn}.\mathrm{is} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{x}}\in\left(\mathrm{0};\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\right)\cup\left(\mathrm{3};+\infty\right) \\ $$