Question Number 178747 by cortano1 last updated on 21/Oct/22
$$\:\:\begin{cases}{\mathrm{3x}=\mathrm{2}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{5}\right)}\\{\mathrm{3x}=\mathrm{4}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{7}\right)\:}\\{\mathrm{3x}=\mathrm{6}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{11}\right)}\end{cases} \\ $$$$\:\mathrm{x}=? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 21/Oct/22
$$\:\:\begin{cases}{\mathrm{3x}=\mathrm{2}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{5}\right)….\left(\mathrm{i}\right)}\\{\mathrm{3x}=\mathrm{4}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{7}\right)….\left(\mathrm{ii}\right)\:}\\{\mathrm{3x}=\mathrm{6}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{11}\right)….\left(\mathrm{iii}\right)}\end{cases}\:;\:\mathrm{x}=? \\ $$$$\left({i}\right)\Rightarrow\mathrm{3}{x}\equiv\mathrm{2}+\mathrm{2}×\mathrm{5}\left({mod}\:\mathrm{5}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}\equiv\mathrm{4}\left({mod}\:\mathrm{5}\right) \\ $$$${x}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{4} \\ $$$$\left({ii}\right)\Rightarrow\mathrm{3}\left(\mathrm{5}{k}+\mathrm{4}\right)\equiv\mathrm{4}\left({mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{15}{k}+\mathrm{12}\equiv\mathrm{4}\left({mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{15}{k}\equiv−\mathrm{8}+\mathrm{7}\left(\mathrm{14}\right)\left({mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{k}\equiv\mathrm{6}\left({mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{k}=\mathrm{7}{l}+\mathrm{6} \\ $$$${x}=\mathrm{5}\left(\mathrm{7}{l}+\mathrm{6}\right)+\mathrm{4}=\mathrm{35}{l}+\mathrm{34} \\ $$$$\left({iii}\right)\Rightarrow\mathrm{3}{x}\equiv\mathrm{6}\left({mod}\:\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}\equiv\mathrm{2}\left({mod}\:\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{35}{l}+\mathrm{34}\equiv\mathrm{2}\left({mod}\:\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{35}{l}\equiv−\mathrm{32}\left({mod}\:\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{35}{l}\equiv−\mathrm{32}+\mathrm{22}\left(\mathrm{11}\right)\left({mod}\:\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{35}{l}\equiv\mathrm{210}\left({mod}\:\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{l}\equiv\mathrm{6}\left({mod}\:\mathrm{11}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{l}=\mathrm{11}{m}+\mathrm{6} \\ $$$$\:\:\:\:{x}=\mathrm{35}{l}+\mathrm{34}=\mathrm{35}\left(\mathrm{11}{m}+\mathrm{6}\right)+\mathrm{34} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{385}{m}+\mathrm{210}+\mathrm{34}=\mathrm{385}{m}+\mathrm{244} \\ $$$${x}=\mathrm{244},\mathrm{385}{m}+\mathrm{244} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 21/Oct/22
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by cortano1 last updated on 21/Oct/22
$$\mathrm{nice}.\:\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$