Question Number 79613 by ajfour last updated on 26/Jan/20
$$\mathrm{3}{xy}\left(\mathrm{2}{x}−{y}\right)−\mathrm{3}{bx}+\mathrm{3}{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3}{xy}\left({x}−\mathrm{2}{y}\right)−\mathrm{3}{by}−\mathrm{3}{c}=\mathrm{0} \\ $$$${find}\:{non}-{zero},\:{real}\:{values} \\ $$$${of}\:{x},{y}\:\:{if}\:{b},{c}\in\mathbb{R}. \\ $$
Answered by behi83417@gmail.com last updated on 26/Jan/20
$$\mathrm{xy}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{y}\right)=\mathrm{bx}−\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2y}\right)=\mathrm{by}+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{b}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{3xy}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)}\\{\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{2c}=\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{1}.\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{bx}−\mathrm{c}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{2}.\frac{\mathrm{b}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}{\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{2c}}=\frac{\mathrm{3xy}}{\mathrm{b}}}\end{cases} \\ $$$$\left[\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{bx}−\mathrm{c}=\mathrm{0},\:\:\bigtriangleup=\mathrm{B}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3AC}=\mathrm{3b}\right. \\ $$$$\mathrm{k}=\frac{\mathrm{27c}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{27b}^{\mathrm{3}} }}=\frac{\mathrm{9c}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{3b}}} \\ $$$$\mathrm{1}.\mathrm{if}\::\mathrm{b}>\mathrm{0},\mid\mathrm{k}\mid\leqslant\mathrm{1}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{3}}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{9c}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{3b}}}\right)}{\mathrm{3}}\right)}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2},\mathrm{3}} =\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{3}}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{9c}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{3b}}}\right)\pm\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{2}.\mathrm{if}:\mathrm{b}>\mathrm{0},\mathrm{k}>\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}=\sqrt{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{3}}}.\left[\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{9}\mid\mathrm{c}\mid}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{3b}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{27c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4b}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{9}\mid\mathrm{c}\mid}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{3b}}}−\sqrt{\frac{\mathrm{27c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4b}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}}\right] \\ $$$$\mathrm{3}.\mathrm{if}:\mathrm{b}<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}=\sqrt{\frac{\mid\mathrm{b}\mid}{\mathrm{3}}}.\left[\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{9c}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{3}\mid\mathrm{b}\mid}}+\sqrt{\frac{\mathrm{27c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}\mid\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \mid}+\mathrm{1}}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{9c}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{3}\mid\mathrm{b}\mid}}−\sqrt{\frac{\mathrm{27c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}\mid\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \mid}+\mathrm{1}}}\right] \\ $$$$\mathrm{4}.\mathrm{b}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{c}} \\ $$$$−−−−−−−−−−+−−−−−−− \\ $$$$\frac{\mathrm{b}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}{\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{2c}}=\frac{\mathrm{3xy}}{\mathrm{b}}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{xy}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{6cxy} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{xy}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6cxy}−\mathrm{b}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left[\mathrm{b}−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right]=\mathrm{6cxy}\overset{\mathrm{xy}=\mathrm{p}} {\Rightarrow}\mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{\mathrm{6cp}}{\mathrm{b}−\mathrm{3p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{6cp}}{\mathrm{b}−\mathrm{3p}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{9p}^{\mathrm{2}} \left[\left(\frac{\mathrm{6cp}}{\mathrm{b}−\mathrm{3p}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4p}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{36c}^{\mathrm{2}} \mathrm{p}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9p}^{\mathrm{2}} \left[\mathrm{36c}^{\mathrm{2}} \mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4p}\left(\mathrm{b}−\mathrm{3p}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \right] \\ $$$$\left[\Rightarrow\mathrm{p}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{no}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9c}^{\mathrm{2}} \mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{pb}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6bp}^{\mathrm{2}} −\mathrm{p}^{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}^{\mathrm{5}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{2b}+\mathrm{3c}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{p}+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{i}\:\mathrm{can}'\mathrm{t}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{this}…… \\ $$
Commented by ajfour last updated on 26/Jan/20
$${Thanks}\:{Sir},\:{for}\:{such}\:{a}\:{general} \\ $$$${solution}.. \\ $$