Question Number 164543 by cortano1 last updated on 18/Jan/22
$$\:\:\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}{{x}}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}}{\mathrm{1}−{x}}\:=\:\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by leonhard77 last updated on 19/Jan/22
$$\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{1}−{x}>\mathrm{0}\:\cap\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\leqslant{x}<\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{let}\:\sqrt{{x}}\:=\mathrm{cos}\:\:{t} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{4sin}\:\:{t}}{\mathrm{cos}\:\:^{\mathrm{2}} {t}}\:+\:\frac{\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}}}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {t}}\:=\:\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{3}} {t}\:+\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {t}\:\sqrt{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}}\:=\:\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t} \\ $$$$\: \\ $$